(kR)Ylm (&) = 4nSIil l I » (LM,l m )y {kR})Y , (Rjj (kp)Y. . (p), (29)

lmlm

где интеграл Гаунта I „ „ \LM, l m от произведения трех сферических гармоник:

lm

„ LM,lm =ГГк Лвр(Гш(e,p(Y, , (e,p(sinededp=

l m fj J0J0 lmlm

2l +1II 2l +1

1/2

4n(2L+1)

l 0l 0 l m l m

(30)

коэффициенты Клебша-Гордона CL,0, и C^1,,, , 5 вычисляются по формулам:

l 01 0lm lm

1/2

lm l mM, m + m

(L +M )!(L -M )!(2 L+1) l +m 1(l -m Vl + m Vl -m I!

хА

+m +kfL +l +m -kДl -m +k I! k k{h-l +l -kVl+M-k))l -l -M +k j!

(31)

где

l +l -L l!l l -l + L !I -l +l + L I!

l +l + L+1 !

(32)

а суммирование проводится по всем целым неотрицательным значениям k, при которых стоящие под знаком факториала величины неотрицательны. В результате сферическая волна 4IINLM ((,0,Ф) в локальных координатах p,e,p сферы а принимает вид:

cN\KN, LRa} + cN,Lyi [KN,LRa

lm l m

х Ym (R :)j{(KNLp)Y{,(p )>

Приравнивая ЧIaNIM (20) и Ч IIaNLM (33) и их производные на границе МТ сферы, находим:

aNLM = r2 dNLMaNL lm,a а lm,a lm,a

BNLM = r 2 DNLMbNL lm,aа lm,a lm,a >

где

D,

lm,a

AnlmS il +l-LIm f LM, l

m

cNLj{ lKN,LRa} + cNLy\ fKN,LRa

(33)

(344 (355

(36) (37)

lm,a).(38)

Интеграл перекрывания равен интегралу от произведения двух сферических волн по межсферной области QII, к которому следует добавить сумму интегралов по МТ-областям QIa от сферических частей ЛПСВ (20). Интеграл по межсферной области равен интегралу по всему сферическому слою Q за вычетом суммы интегралов от той же функции по МТ-областям QIa, а

интеграл от произведения сферических волн по всей ячейке, в силу их ортонормированности, равен 8 -функции:

aima = jl I KN,Lra I Ula (Га ] jl I KN, 1Га j Ula (Га ] ,

,,NL

\ -1 N2 L2M2 I -1 NLMj N2 L2M2 NLMi

2 ч;(

ЧdV + V f Ч* ЧdV (39)

IIa,N2L2M2 Ua.NJMIl J Ia,N2L2M2 I a, N1LM1V~"v/

a Qaa Qa

Подставляя сюда явный вид функций ЧПа^ и Чамм, имеем:

-1 N2L2M2 I -1 NlLlM1 UN2L2M2 N1LM1

■(4n)2SS

l1 l2 L1 + L2

l2m2 l1m1

X2 Л fKN2L2 Ra] Л \KNlkRaJ Yl[m1 ( 1R a) Ym (ft a)

a

a la

m

где

Jl (KNLRa ) = cNLjl (KNLRa ) + c^yi (KNLRa ) ,

: jl (K2Lp) jl (^A p)pdp :

22

KN2L2 - KN1L

L2 NA

1,la

Sla 2 lL = aim,a f KN2L24 } aim,a {^KN1Lira } + Nlablm,a }KN2L2ra } blm,a {^KNlLira

С учетом (30), (31) и (32) уравнение (40) может быть переписано в более удобном для программирования виде:

^cocoi

J(2L2 +1)(2L1 +1) 22 -l2-L+12 V(2l2 + 1)(2l1 +1) х

i2=011=0

:2 Л (KN2L2Ra] fl1 {KN1L1Ra S S Y2m2 (Ra)Yl1m1(SRa)

am2 =-l2 m1 =-1

(41) (42)

(43)

\ -1 N2 L2M^ -1 NjLMj UN2L2M2 N1LM1 "V

(44)

х V f2l + Л CL20 CL10 I IN2L2,N1L1 - r4 SN2L2,N1L1 I V CL2M2 CLM1

a/_jV/ 10l20^10l10 I11,laa°laJ^lml2m2^lml1m1

l=0m=-l

Матричные элементы гамильтониана вычисляются с помощью того же приёма интегрирования по сферическому слою. Примем также значение постоянного МТ-потенциала в

межсферной области за начало отсчета энергии, тогда в межсферной области H = -А

и

Ч N2 2\&\Ч.

N1L1M1 I KN2L2KN1L8N2L2M 2, N1LM1

(45)

а Qa

+ V f Ч*dV

^ / , J Ia, N2 L2M2I a, NlL1Ml "

Для вычисления первого интеграла в правой части (45) воспользуемся записью оператора V в локальной сферической системе координат:

^ д 1 д 1 д V = — ep +---ев +---ep.

дp p p дв p sin в др p

(46)

Тогда из (45) получаем:

N2L2M2

N1LM1 I KN2 ,L2 KN1 ,L 8N2L2M2,N1L1M1

■(4n)222

l2m2l1m

X2 ЛRa} f\ KV,LI Ra } ^lm (R a) Yl,m/, (R a)

a

X 2 Ilm (L2M2 , l2 m2 ) Ilm (L1M1, l1m1 ) X

lm

X _I2,a + l(l + 1)I3 aa - 4 fEaSa2LNL + 2L2^

(47)

где

I Naaa, N1L1 *=j; %^ %Vd p,

jN2L2, N1L1 13,la

ji (kN2,L2p) ji (kN1 ,lp) dp,

(48) (49)

2

интегралы, которые мы рассчитываем численно, а

i lai a ia

jl (KN2,L2p)jl (KN1 ,^p) + j (KN2,L2p) jl (KN1 ,^p) ui ,aui aji (KN2,L2p)jl (KN1,4p)+ Ul,aUl Jl (KN2,L2pjl (KN1,Ap)

p=ra

p=ra

При выводе (47) мы приняли во внимание соотношение

* /

0 0L

lm l m j l m l m

дв дв япвдр smedp

SnOd0dp=8 8, J ((+1

ll mm

(51)

Подставляя (30), (31) и (32) в уравнение (40), получаем окончательное выражение для матричных элементов гамильтониана:

-1 N2 L2M2 \ I -1 V

4n

N1LM1I N2 N1 N2L2M2, n1lm1 ^(2 l2 +1)(2 4+f

■22

l2 =0 l =0

: V(2l2 + 1)(2l1 +1) 2 f (KN2L2Ra J fk fKNlkRa

2 1

2 2(ftjYm (^a)2;=0 (H + 1)C,L500CT0t00

I2,la+ l(l + 1)I3,la- ra ElaSi

3Лаа ^ la° la1 laмл

Z^L2M1 y"i L1M1 lml2m2 lml1m1

=-l

(52)

Практические аспекты вычислений

Развитый метод реализован в виде программы на языке ФОРТРАН. Практическая реализация метода потребовала вычисления специальных функций. Присоединенные полиномы Лежандра P™ (z) определяются уравнением3

2\ -2- jl+m

2ll! dz

При вычислении на первом этапе, полагая m = l в (53), рассчитывали z) по формуле:

Pm ( z ):

т \ у

(1 - z 2)2(2 m)!

(533

(54

(555

(56)

Далее, применяя формулу (55) и рекуррентное соотношение (56) (l - m - 2) раз,

Pmm+1( z) = zP: (z )(2m +1) Pm ( z) z(2l - 1)Pm1(z) - (l + m - 1)Pm (z) (l- m)

получали окончательные значения Plm(z).

Численные значения интегралов I2 }a и I3 }a находились стандартным методом трапеций.

Сферические функции Бесселя рассчитывались с использованием процедуры Миллера, основанной на рекуррентной формуле (57)6:

jn-1(x) + jn+1( x) = Л-" jn ( x).

(57)

На первом этапе полагали FN+1 (x) = 0 и FN (x) = 1 для достаточно большого индекса N > п . Используя (57) в направлении убывания N , получали последовательность