Линеаризация гладкой нелинейной системы управления

Василенко Д.Н, Головачев Е.В (negue@avte.omsk.info) Омский филиал института математики СО РАН

Введение.

Для классификации гладких нелинейных систем управления их необходимо привести к нормальной форме. Из линейной алгебры известно, что если пара (A, C) линейной системы

— = Ax + bu; y = Cx; dt

наблюдаема, то можно найти такие матрицу T и вектор к, что

00 ... 0 0

10 ... 0 0

т(A + кс)T1 = 0 1 ... 0 0;

0 0 ... 1 0

CT 1 = 0 0 ... 0 1;

что и определяет нормальную форму наблюдаемой линейной системы [1-3].

Если пара (A, b) управляемая, то существует такие матрица T и вектор к, что

что и определяет нормальную форму управляемой линейной системы.

Рассмотрим задачи линеаризации гладких нелинейных систем управления с использованием входной или выходной (IO - input/output) информации с целью последующего приведения к нормальной форме и классификации.

Линеаризация систем по выходной информации (output linearization).

Пусть система описывается соотношением: dx

— = f (x);y = h(x); x e Rn; f (•) e Rn;y e R;h() e R dt

Поставим задачу нахождения такого линеаризующего преобразования x = T (z) = F 1 (z), что

dF

—f (F ») - Az = a(Cz); h(F -1(z)) = Cz

dx

Потребуем выполнения следующих условий при преобразовании x = T(z) :

(1)dim(^pan(dh, dLfh,..., dLnfflh}) = n;

(2)найдется векторное такое поле т , что: LTh = ... = LTLn^2h = 0;LTLnf-lh = 1. Локально последнее условие в координатах векторов x и z можно записать в форме:

(1)

z = F (x) или

(3)

Первый столбец этого соотношения представляет PDE для т :

[dh d[Lfh]d[LTh] т [00 01]t(4)

dx dx dxdx

Отображение x = T (z) связано с векторным полем т соотношением

d Id dd

—= (T,-adf т,...,(-1) n-1 ad^r)T(z) = T \—, ——);(5)

dzdz1 dz2 dzn

f{x) = T\ax{zn) A + ^ + a2(z„)) dL +... + {zn_x + an (zn)) ^T^x);(6)

где т(x) = T\—)T-\x); adkfT(x) = (-1)kT*(—A)T~\x); Vf : 0 < k < n -1;

dzidzf+i

dx

для вектора т = [т1, т2,..., тп ]: — = тг (x(z)).

Продифференцируем выход: у = h( x) = zn;

Cd- = Lfh(x) = zn-i - an(zn); d2 у

—= Lfh( x) = zn-2 - an-1 (zn ) - L fan (zn );

dny dt

n = Lfh(x) = -Lfai - Lfa2 -... - Lfxan(7)

Из соотношений (7) получим требуемое преобразование:

zn = h(x) = Fn (x);

zn-1 = Lfh(x) + an (h(x)) = Fn-1 (x);

zn-2 = Lf h( x) + an-1 (h( x)) + L fan (h( x)) = Fn-2 (x);

zn-г = Lfh( x) + an-t+i (h( x)) + Lfan-l+2 (h( x)) +... + Ljlan (h( x)) = Fn-, (x);

z1 = Ln-Xh{ x) + a 2(h( x)) + Lfa3(h( x)) +... + Lf2 an (h( x)) = F1( x);(8)

и

dziI \

dt

dt dz

dt

dt

= Zn-1 - an (Zn );(9)

Lnfh(x) + a1 (h(x)) + L fa2 (h(x)) +... + Г1- a (h(x)) =

(10)

= LnfZn + ax( Zn) + Lfa 2( zn) +... + LnJ.lan (zn) = 0;

Последнее соотношение ограничивает выбор функций выхода ax(h(xf),...„an(h(x)). Например, в случае n=2 и a 2(h( x)) = 0 это соотношение примет форму:

-йц-^) +--cdx_) + a= 0;(П)

dx1dx2

Величина

5(h(x)) = (Lfh(x) + Ln/1a„ (h(x)) +... + Lfa2(h(x)) + Lf aj(h(x)))2(12)

может служить мерой "неинтегрируемости" системы (1); при S(h(x)) = 0 система является

интегрируемой. Минимизация величины I 5(h(x))dx —» min может быть использована при выборе

JM

преобразований z = F (x) или x = T (z) = F 1 (z) в области M.

Линеаризация систем формированием управления (input linearization).

Рассмотрим систему: dx

—= f (x) + g(x)u; x e Rn; f (•) e Rn; g(•) e Rn;u e R(13) dt

Поставим задачу нахождения такого управления u = а(x) + в(x)v и преобразования координат z = F(x); z e Rn;F(•) e Rn, что

F* (f + ga) • F-1 (z) = Az; F. (gfl)t • F-1 (z) = Ъг; A e Rn*n; bt e R;(14)

Тогда исходная система (13) может быть переписана как

dx

—= f + ga + (g0)u;(15) dt

и преобразованная (линейная): dz

—= Az + bv(16)

dt

Если система (13) линеаризуемая, то преобразование z = F (x) удовлетворяет условиям:

*-g (x) = Lgzi (x) = 0;1 < i < n -1; (x) = Lgzn (x) = pl (x);(17)

Lfz% (x) = zM (x);1 < i < n -1; Lfzn (x) = -a(x)P-1 (x);(18)

ri

Если <p(x) = z1(x) то zi41(x) = Lf <p(x) и функция <p(x) удовлетворяет соотношениям:

Lg(p(x) = LgLf <p(x) = ... = LgLf-2<p(x) = 0;LgLy<p(x) * 0(19)