Термодинамика и классическая механика

Сомсиков В.М. (nes@kaznet.kz) Институт ионосферы, Алма-Ата, Казахстан. 1. Введение.

Стремление подвести строгую базу под феноменологическую теорию термодинамики с момента ее создания и до настоящего времени определяет возникновение и развитие многих областей физики. Под строгим обоснованием термодинамики, как правило, подразумевается обоснование ее постулатов и законов на основе классической механики. При этом основная проблема обоснования связана с объяснением механизма необратимости.

В результате поиска взаимосвязи между классической механикой и термодинамикой возникли статистическая физика и кинетика [1-4]. Их предмет составляет изучение закономерностей систем многих тел, а основная задача заключается в том, чтобы определить свойства систем, зная свойства элементов и характер их взаимодействия [2, 3]. Основное отличие между статистикой и кинетикой в том, что в статистической физике ищется стационарная функция распределения элементов равновесных систем, а в кинетике ищут функцию распределения неравновесных систем.

В основе методов статистической физики лежат статистические закономерности вероятностного характера. Именно они позволяют эффективно описывать коллективные свойства систем, отказавшись от немыслимой задачи расчета динамики каждого элемента. Так, к примеру, метод ансамблей Гиббса [2, 4] заключается в разбиении равновесной системы на подсистемы и изучении подсистем, опираясь на вероятностные закономерности в предположении выполнения эргодической гипотезы, которая предполагает возможность исключения взаимодействия подсистем и наличие зависимости их статистического распределения от начальных условий[5].

Начало кинетики было положено Больцманом при попытке связать классическую механику с термодинамикой. Он получил кинетическое уравнение и доказал H-теорему. Согласно этой теореме системы многих тел должны стремиться к равновесному состоянию. Но обосновать используемое при доказательстве приближение хаотических фаз на основе законов классической механики Больцману не удалось [1, 5, 6] и проблема необратимости осталась открытой.

Сейчас уже ясно, что методы кинетики не подходят для обоснования термодинамики, так как они, как и методы статистической физики, опираются на статистические закономерности и неприемлемые для механики допущения [3, 7].

Наряду с попытками обосновать термодинамику на основе статистических теорий искались подходы, непосредственно опирающиеся на механику. Лиувиллем было доказано, что интегрируемы только такие системы многих тел, которые путем канонических преобразований независимых переменных расщепляются на системы с одной степенью свободы [7-9]. Т.е., когда между системами можно исключить взаимодействия. В тоже время Пуанкаре доказал теорему, согласно которой динамические системы, как правило, не интегрируемы [7-9]. Значит исключение действующих между подсистемами сил возможно только в исключительных случаях. С другой стороны, если из условия потенциальности сил взаимодействия элементов следует потенциальность сил между системами этих элементов, то, как следует из формализма Гамильтона [7], такая система сводима к независимым интегрируемым системам с одной степенью свободы. Но тогда возникает противоречие. С одной стороны, доказано, что класс интегрируемых систем очень узок. С другой стороны, потенциальность сил взаимодействия должна обеспечивать возможность сведение систем к интегрируемым системам [8]. Это одно из принципиальных противоречий на пути обоснования термодинамики.

Открытие детерминированного хаоса привело к возникновению стохастической динамики. С помощью методов стохастической динамики, в частности, была установлена связь между энтропией и показателями Ляпунова, характеризующими динамику систем. Но попытки объяснить механизм необратимости на основе методов стохастической динамики наталкиваются на проблему объяснения механизма усреднения «coarse-grain» [7,10].

Имеются работы, объясняющие необратимость за счет неустойчивости динамики систем многих тел при сколь угодно малой неопределенности внешних факторов [20]. Но этот сценарий необратимости можно свести к усреднению или огрублению начальных и граничных условий. Поэтому фактически такое объяснение необратимости также упирается в проблему «coarse-grain».

Недавно возник метод не экстенсивной термодинамики, развитый для анализа стационарных неравновесных систем [11]. С его помощью, к примеру, можно найти функцию распределения неравновесных систем, изучать связь между силой и энтропией. [12]. Так как этот метод также опирается на вероятностные закономерности, то его также сложно использовать для обоснования термодинамики.

Определенные успехи в изучении неравновесных систем были достигнуты в рамках статистической теории открытых систем [13]. Особенность предлагаемого там подхода заключается в учете структуры сплошной среды на всех уровнях описания. Но и в рамках статистической теории открытых систем проблема необратимости не могла быть решенной. Более того, она существенно ограничивала возможности предлагаемого подхода к изучению неравновесных систем.

К сожалению, в объеме статьи невозможно затронуть многие, достаточно оригинальные варианты предлагаемых решений проблемы необратимости, привлекающей огромное внимание из-за ее чрезвычайной важности для всей физики. Но все они, как правило, по существу сводятся к упомянутым выше подходам.

Анализ существующих работ позволяет заключить, что на данный момент времени ни одна из областей физики не позволила решить проблему необратимости. Пригожиным бы ло высказано предположение, что, возможно, это связано с ограниченностью формализма классической механики [7].

В процессе решения проблемы необратимости для систем твердых дисков мы пришли к заключению, что необходимое расширение формализма Гамильтона возникает при отказе от условий консервативности систем и от требования потенциальности их взаимодействий [14-17]. Благодаря такому расширению, в [16, 17] был предложен механизм установления равновесия в системе твердых дисков. Обоснование механизма опирается, как на установленную зависимость силы взаимодействия упругих дисков от их относительных скоростей, так и на необходимое условие необратимости, вытекающее из обобщенного уравнения Лиувилля. Им является непотенциальность сил взаимодействия подсистем. Но силы взаимодействия элементов в реальных системах потенциальны. Поэтому вопрос: как возникает непотенциальное взаимодействие подсистем, состоящих из потенциально взаимодействующих элементов, является ключевым на пути обоснования термодинамики.

Цель данной работы: изучение механизма установления равновесного состояния и доказательство возможности обоснования термодинамики для потенциальных систем. Для этого мы расширим формализм Гамильтона. Расширение состоит в отказе от условия консервативности. Затем докажем существование непотенциальных сил между взаимодействующими системами при условии потенциальности сил между их элементами.

Работа строится следующим образом. В качестве моделей берется неравновесным образом приготовленная система. Эквивалентность этой системы открытой состоит в том, что процесс приготовления неравновесного состояния обусловлен внешним воздействием на систему. Система разбивается на подсистемы. Положим, что неравновесная система

может быть представлена множеством равновесных подсистем. Тогда неравновесность будет заключаться в движении подсистем относительно друг друга. Правомерность использования такого подхода имеет достаточно серьезное физическое обоснование [2]. Будем так адаптировать формализм Гамильтона, чтобы его можно было применять для открытых систем. Это продиктовано тем, что именно учет взаимодействия и обмен энергией подсистем является необходимым условием для установления равновесия.

Для выделенной подсистемы получим обобщенные уравнения Лагранжа, Гамильтона и Лиувилля. Эти уравнения называем обобщенными, поскольку они выводятся без ограничения на потенциальность сил взаимодействия подсистем. Силы взаимодействия подсистем также будем называть обобщенными. Опираясь на обобщенное уравнение Лиувилля, найдем необходимое условие необратимости. Оно состоит в зависимости сил взаимодействия подсистем от их относительных скоростей. Получим уравнение движения для твердых дисков и с его помощью покажем выполнение условия необратимости для неравновесных систем твердых дисков.

Чтобы обобщить полученные результаты на реальные системы, получим уравнение движения для взаимодействующих подсистем, между элементами которых действуют потенциальные силы. С его помощью докажем непотенциальность обобщенных сил и возможность существования необратимой динамики для неравновесных систем. Покажем, как из уравнения движения подсистемы следует связь между классической механикой и термодинамикой. Получим формулу, выражающую энтропию через обобщенные силы.

2. Обобщенное уравнение Лиувилля.

Каноническое уравнение Лиувилля лежит в основе статистической физики. Оно выводится для гамильтоновых систем при условиях не слишком больших времен, когда можно пренебречь обменом энергии между подсистемами [2, 3]. Но для открытых систем следует отказаться от этих ограничений. В этом случае мы получим обобщенное уравнение Лиувилля. Оно выводится следующим образом [14, 15]. Берется неравновесным образом приготовленная замкнутая система. Она разбивается на подсистемы так, чтобы каждую из них можно считать равновесной. Разбиением системы на равновесные подсистемы мы добьемся того, что неравновесность будет определяться энергией относительного движения подсистем. То, что так можно делать, убедительно обосновано в [2]. Отказываемся от требования потенциальности обобщенных сил. Как будет показано ниже, необходимость отказа от потенциальности этих сил для твердых дисков следует из уравнения их движения. Для неравновесных систем потенциально взаимодействующих элементов, непотенциальность взаимодействия подсистем следует из уравнения движения подсистем. Выбираем одну из подсистем и с помощью уравнения Даламбера вариационным методом получаем для нее уравнение Лагранжа. В его правую часть войдет обобщенная сила. Правая часть отлична от нуля только при непотенциальном взаимодействии подсистем [15-17]. Обобщенная сила войдет и в правые части уравнений Гамильтона и Лиувилля.

Отметим, что обобщенное уравнение Лиувилля можно получить проще, считая силы диссипативными [18]. Но использование условия диссипативности сил не позволяет применять полученное таким образом уравнения Лиувилля для изучения необратимости, так как принятие условия диссипативности сил фактически означает введение необратимости. Мы же получили при выводе обобщенного уравнения Лиувилля в рамках законов классической механики. Фундаментальность полученного таким образом уравнения позволяет использовать его для описания классических систем.

Обобщенное уравнение Лиувилля имеет вид [14, 15]: