Исследование влияния размеров выборок численностей организмов в пробах на их вероятностно-статистические свойства методом имитационного моделирования гидробиологической съемки

Хазов А.Р. (khazov@onego.ru) Институт водных проблем Севера, КарНЦ РАН Введение.

В процессе планирования полевых гидробиологических исследований важное значение имеет определение необходимого количества проб, требуемых для надежных количественных оценок показателей степени развития популяций, образующих изучаемое сообщество. Основным параметром, служащим для этой цели, является их плотность (численность особей на единицу площади или объема), для вычисления которой используются выборочные статистики - среднее выборки и ее дисперсия. Кроме этого, от статистической репрезентативности данных зависит корректность применения математических методов их анализа. Вместе с тем, эта проблема имеет еще один немаловажный аспект. Большинство параметрических методов обработки данных основано на предположении об их нормальности, или, по крайней мере, на нормальном распределении выборочных статистик (средних). Так как проверку на нормальность по данным реальной гидробиологической съемки можно провести только для исходных рядов численностей организмов в пробах, которые, как было показано ранее (Хазов, 2000, 2004), соответствуют иным математическим моделям, то под сомнением оказывается корректность применения многих статистических методов, используемых для обработки гидробиологической информации. Однако, их использование допустимо, если для рядов наблюдений размером N справедлива центральная предельная теорема - распределение выборочных средних подчиняется нормальному распределению независимо от типа распределения исследуемых переменных (Айвазян и др., 1983). Таким образом, для гидроэкологических исследований актуально определение минимального количества проб в выборке (NN), для которых данное условие безусловно выполняется.

Следует отметить, что значение NN зависит от характера размещения особей в пространстве, от размеров и способа отбора проб, так как перечисленные факторы оказывают влияние на вероятностно-статические свойства исходных эмпирических распределений численностей организмов в пробах.

Единственным эффективным методом исследования статистических свойств гидробиологических выборок в зависимости от их размера следует признать имитационную модель гидробиологической съемки (Хазов, 2004), так как на базе реальных полевых съемок невозможно получить требуемого количества данных. В то время, как применение модели в этих целях предоставляет исключительную возможность изучения абсолютных погрешностей между генеральными параметрами и выборочными статистиками, не доступную иным методам.

В предлагаемой работе представлены результаты статистического анализа модельных выборок различного размера, полученных из имитаций случайных размещений невзаимодействующих организмов на однородном биотопе.

Экспериментальные модельные комплексы.

С целью анализа влияния размеров выборок на их статистические свойства использовались две модификации модели с равными ожидаемыми средними в выборках. Одна - абсолютно рандомизированная со случайным начальным размещением объектов, другая - с произвольными центрами инициации. (Полное описание модели представлено в предыдущей работе (Хазов, 2004): "Исследование влияния размеров проб на вероятностно-статистические свойства выборок численностей организмов методом имитационного моделирования гидробиологической съемки").

Параметры модификаций модели, имитирующих различные варианты случайных размещений были следующими: •S количество объектов - 10000,

•S количество точек инициации - 10000 (рандомизированное), 1000 (псевдоагрегированное),

•S тип их размещения - случайный,

•S распределение объектов в центрах - Пуассоновское,

•S направление движения - 360,

•S скорость перемещения - 0.01 единицы от стороны игрового поля,

•S продолжительность перемещений - 100,

•S ожидаемое среднее количество объектов в выборке - 5,

•S количество проб - 100,

•S способ отбора проб - случайный.

В каждом варианте модельных экспериментов генерировалось по 100 выборок объемом 5, 10, 25, 50 и 100 проб.

На рис. 1 представлены финальные размещения объектов после полного цикла их перемещений по модельному полю.

Рис. 1. Финальные расположения объектов в рандомизированных (R) и псевдоагрегированных (A) вариантах случайных размещений особей в пространстве.

Проверка на нормальность распределений выборочных статистик проводилась по критерию Колмогорова-Смирнова (Большев, Смирнов, 1965) c поправкой Лиллефорса (Lilliefors, 1967).

Результаты анализа.

Анализ соответствия исходных рядов наблюдений вероятностным распределениям показал, что выборки объемом 25 - 100 проб из рандомизированных размещений (см. рис. 1, R) во всех случаях, кроме одного, хорошо аппроксимировались распределением Пуассона. В одном из размещений, в серии экспериментов со 100 пробами, было отмечено спонтанное образование случайных скоплений объектов, выборка из которого достоверно отличалась от него, но соответствовала второй функции семейства сопряженных распределений Пуассона (СРП) (Хазов, 2000, 2004).

Выборки из псевдоагрегированных (дисперсных) (см. рис. 1, А) размещений объектов, содержащие 25 - 100 проб, хорошо описывались вероятностными функциями этого же семейства. Следует отметить, что определение соответствия эмпирических распределений математическим моделям в области малых выборок (я<25 проб) оказалось невозможным, так как количество дат в классах, необходимых для вычисления значений хи-квадрат, было не достаточным.

Рассмотрим особенности распределения выборочных средних в зависимости от типа финального размещения объектов.

Основные статистические характеристики этого параметра в выборках из рандомизированных размещений объектов показывают, что его распределение не отличается от нормального для рядов наблюдений, содержащих свыше 5 проб (табл. 1, рис. 2).

Распределение средних численностей в организмов в совокупностях проб, полученных из дисперсных размещений особей, становится нормальным для выборок, содержащих 25 и более проб (табл. 1, рис. 2).

Сравнивая статистики, характеризующие вариации средних не трудно заметить, что вариабельность рядов данных, полученных из дисперсных размещений объектов, значительно выше, чем, чем у выборок, взятых из рандомизированных размещений. Это соотношение не зависит от размеров исходных выборок (табл. 1).

Таблица 1.

Основные статистические характеристики средних значений численностей рандомизированных (R) и дисперсных (A) выборок.

Примечание: M - среднее, min, max - минимальное и максимальное значение, Dev - стандартное отклонение, As - асимметрия, Ex - эксцесс, PL% - .вероятность соответствия нормальной функции.

K-S d-OS760, о= .20, Lilliefors р<.05

<-S d= 05551, 20; Lllliefors p^ 05

M10R

K-S d=.06682, p? 20;Lilheforsp* 20

M10A

K-S d=.u f o53, 0 , Lilliefors p=.01

Рис. 2. Аппроксимация нормальной функцией эмпирических распределений средних численностей рандомизированных (слева) и дисперсных (справа) размещений объектов в пространстве.

В виду экологической важности оценки средних значений численностей организмов был проведен анализ отклонений выборочных средних от ожидаемого генерального параметра, который по условиям эксперимента известен и равен 5 объектам (ДМ=М-5).

Проверка на нормальность эмпирических распределений ДМ показала, что их достоверная аппроксимация этой функцией отмечается для рандомизированных выборок объема свыше 5 проб и дисперсных - свыше 10, что согласуется с результатами тестов на нормальность средних значений численностей (табл. 2, рис. 3). Однако анализ отклонений выборочных средних от генерального параметра установил, что их значения в области малочисленных выборок