Коэффициенты разложения элементов матрицы рассеяния хаотически ориентированных частиц, не обладающих

осевой симметрией

Шмидт В.А. (morgen@akadem.ru) Красноярский государственный технический университет

Введение

В изотропных рассеивающих средах с учетом поляризации излучения используется разложение элементов матрицы рассеяния в терминах метода Т-матриц [1] в ряды по обобщенным сферическим функциям или функциям Вигнера [2].

В настоящей работе известные результаты - алгоритмы расчета коэффициентов разложения для хаотически ориентированных осесимметричных частиц [3], обобщаются на случай хаотически ориентированных частиц, не обладающих осевой симметрией. СР - представление вектора электрической напряженности. Вектор Стокса и матрица

Мюллера

Пусть направление распространения излучения задается вектором n = (в, <р<, где в, ф -углы сферической системы координат. Вектор напряженности электрического поля

Е = Евев + Ефеф,

где ев, e«, - орты сферической системы координат.

Представление оптических характеристик в базисе [4]

-1

=72(ев-/е<) e+i =^2(ев+

V2

будем называть СР - представлением, а орты е_1, е+i интерпретировать как право и левоциркулярно поляризованные излучения единичной интенсивности.

В дальней волновой зоне (кт>>1) рассеянная частицей волна является сферической [4]

Е_1 Л V Е+1J

Акт

кг

■С (n s, n;)

f Е_ 1Л V Е+1J

где

па ,- амплитудная матрица рассеяния в CP-представлении, т - расстояние

^ч > р,а=_1,+1

до точки наблюдения, к - волновое число, индексы ,i обозначают рассеянное и падающее поля соответственно.

Параметры Стокса в CP - представлении определим следующим образом -

-2 = Е_1Е+1 = 2 (Q _ iU), /_0 = Е_1Е_1 = 2 (I + у), I+0 = Е+1Е+1 = ^2 (I _ у), /2 = Е+1Е_1 = 2 (Q + iU),

здесь I, Q, U, V - параметры вектора Стокса в LP - представлении [2-3].

Преобразование параметров Стокса описывается матрицей Мюллера и имеет в CP -представлении следующий вид:

lSp-p(n s ) = -2-j £ CpqC*p q Ilq-q(nt ), p, q, p, q =-\ +1 ,

kr q ,q

где знак нижнего индекса Ip-p совпадает со знаком p .

Метод Т - матриц

Следуя формализму метода Г-матриц, развитому для решения задач дифракции электромагнитного излучения частицами несферической формы, падающее и рассеянное поля представляются соответственно [1,3,5]

да n

E (Г) = VV [amnRgMmn (kr) + bmnRgNmn (kr

n=1 m=—n да n

E (Г) = II [pmnMmn (kr) + qmnNmn (kt)J

n=1m=-n

где Mmn (kr), Nmn (kr) RgMmn (kr) RgNmn (kr) (n = L^-^ — n ^ m ^ n) - канонический

базис в пространстве решений векторного уравнения Гельмгольца [6], преобразующийся по неприводимым представлениям веса n группы вращения и не зависящий от способа задания вращения.

Коэффициенты разложения связаны линейным преобразованием [1]

так называемой Г - матрицей, которая является инвариантом относительно направления распространения падающего излучения в фиксированной системе координат, зависит от размера, формы, относительного показателя преломления частицы.

При вращении g системы координат (1 — 2 ) Г-матрица преобразуется согласно [6]

2Tij , , = V V D(n) (g—1D(nr)* (g—1) / i = 12(i)

mnmn Z-i Z-i/ m1nm2n mm2 \s / (1)

m1=—n m2 =—n

где g - последовательное вращение системы координат относительно подвижных или

неподвижных осей Z,X,Z или Z,7,Z, -Dm,(g) - соответствующие элементы матрицы

неприводимого представления веса n группы вращения, левые верхние индексы 2 и 1 соответствуют лабораторной системе координат и физической системе координат, связанной с частицей. В дальнейшем используем последовательное вращение системы координат

относительно подвижных осей Z,7,Z, для которого >(g—1) = D>m^m<(аву) - D-функции Вигнера [7], а, в,у - углы Эйлера. При вращении пространства g—1 в формуле (1) следует

заменить g . В дальнейшем полагаем, что 1T - матрица частицы известна.

Матрица рассеяния хаотически ориентированных частиц

Элементы амплитудной матрицы рассеяния в СР - представлении имеют вид [8]

Cpq = ^ SS S X tnn (-1) Amm (<<5, <<i(#s(&i )TJZi n

n=1 n =1 m=-n m =-n

T (pq) = T11 + qT 12 + pT 21 + T 22A (< < ) = i(m<5-m Vi) (2)

mnm n mnm n / mnm n V mnm n ~ l 41 mnm n »mm a rs->Vi)

W = in-n-1 [(2n +1) (2n+1)] ^, p, q = -1,1,

где >(#) - функции Вигнера [7].

Пусть положительное направление оси Z лабораторной системы координат совпадает с направлением распространения падающей волны, и полагаем <ps = 0, так как ансамбль

хаотически ориентированных частиц обладает вращательной симметрией. Матрица Мюллера в этом случае является и матрицей рассеяния.

Элементы матрицы рассеяния хаотически ориентированных частиц в лабораторной системе координат имеют вид -

(CpqCPq) =-2 I da I(в5, Vfry^pq , аРУ\(3)

8ж 0 0 0

В приведенных ниже формулах элементы T(pq) - матриц заданы в физической системе координат, где, в частности, для осесимметричных частиц ось Z совпадает с осью вращения. Используя формулы (1-3) и опуская промежуточные выкладки, получим

(cpqcp;q) = s gn p ~dn1 p ~(es),

\ pq p q Ii—tOp-p q-q p-p q-qy s/

n1=max(p-p, q-q\)

oo n+n1 f 2n +1 л Кrnm(n,n+q-q)_(4)

gn p q =(2n1 + 1)SS1 Cn? ~ SCnmmq qD(pqpq\

°p-pq-q V 1 / t—it—iI 2n +1 I npn1p-pZ—inmn1q-q mnmn

n =1 n=max(1, ni-n^m=max(-n,-n+q-q)

m=m+q - q, p, q, pp, q = -1,1,

где gripl-pq-q - искомые коэффициенты разложения, Cn^m - коэффициенты Клебша-Гордона [7], величины D^nm^ определяются из следующих соотношений -

D(pqpq) = S (2n1 +1) S B(pq). B^Af ,

mnmni-u v 1 i-u mnAmn1 m nAmn1

n1=m-qAm=-n1

n+n1

B(pq) = у Cnq A(pq)/сл

mnAmn1Z_jnmn1q -m Amnn(5)

n =max

•n -nmin(n,n -Am)

a( pq) = __L_S Cnm1+AmT( pq)

Amnn n1 1/Z_j nm1n1Am minm1+Amn

2(2n+ 1)2m1=-min(n,n +Am)