Критерии разрушения при ползучести, учитывающие

историю деформирования, и моделирование кривых длительной прочности

Хохлов А.В. (khokhlov@imec.msu.ru)

Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Введение. Для моделирования и прогнозирования длительной прочности материалов и элементов конструкций к определяющему соотношению (ОС) необходимо добавить хорошо взаимодействующий с ним критерий разрушения (КР), т.е. критерий, позволяющий вывести уравнение теоретической кривой длительной прочности (КДП), аналитически исследовать зависимость её свойств от материальной функции и параметров ОС и КР, установить ограничения на них, обеспечивающие совпадение качественных свойств теоретических КДП с теми, которые наблюдаются у типичных экспериментальных КДП вязкоупругопластичных материалов, и указать способ идентификации материальных параметров (МП) по данным испытаний конкретного материала. Эта программа и реализована в данной работе.

Продолжено исследование предложенного в статье [1] нелинейного ОС (1.1) между напряжением и деформацией для описания одномерных изотермических реологических процессов в случае монотонного изменения деформации. Показано, что ОС (1.1) в сочетании с деформационным КР приводит к теоретическим КДП, обладающим такими же качественными свойствами, что и типичные экспериментальные КДП вязкопластичных материалов (п.2-4).

Построены два семейства критериев разрушения при монотонном одноосном деформировании, родственных ДКР, но учитывающих историю нарастания деформации и зависимость критической деформации от напряжения (п.5,6). Вместо текущей деформации в них используются другие меры повреждённости, связанные с историей деформации интегральными операторами по времени. Их конструкция мотивирована желанием иметь арсенал более общих и чутких КР, допускающих регулировку за счёт дополнительных МП и позволяющих точно описывать экспериментальные КДП более широкого класса материалов при произвольной температуре.

Аналитическое исследование построенных КР при любых значениях МП позволило обнаружить ряд полезных свойств, подтверждающих их пригодность для описания разрушения различных вязкопластичных материалов при ползучести. В частности, доказано, что в сочетании с ОС (1.1) эти КР приводят к теоретическим КДП, обладающим такими же качественными свойствами, что и типичные экспериментальные КДП (п.7). Существенно, что каждое из построенных семейств КР образует монотонную и непрерывную шкалу критериев (монотонно и непрерывно зависящих от вещественного МП), включающую ДКР как предельный случай. При этом критерии первого семейства всегда дают большее время разрушения, чем ДКР, критерии второго семейства -меньшее, а различие можно сделать сколь угодно малым за счёт выбора значения управляющего МП у края шкалы. Вместе с тем различие можно сделать сколь угодно большим, выбрав его вдали от этого «края». Эти свойства очень полезны для точной настройки модели на имеющиеся опытные данные о зависимости времени разрушения от уровня напряжения, температуры, радиации и других факторов: если эти данные плохо описывает ДКР, то можно выбрать подходящий КР из построенных семейств, плавно и монотонно изменяя управляющий МП.

Список аббревиатур: ОС - определяющее соотношение (1.1); МП - материальные параметры (постоянные) ; МФ - материальная функция ОС (1.1); КП - кривая ползучести (ТКП -теоретическая, ЭКП - экспериментальная); КДП - кривая длительной прочности (ТКДП, ЭКДП); КР - критерий разрушения, ДКР - деформационный КР.

Термин «возрастает» в дальнейшем означает нестрогое возрастание, т.е. неубывание.

1. Определяющее соотношение для одномерных монотонных реологических процессов.

Предложенное и исследованное в работах [1,2,8] ОС выражает напряжение <j(t) через историю деформирования е(г), 0 < т < t. Деформация не предполагается малой и потому используется

логарифмическая деформация s(t) := ln l(t)/1(0) . В дальнейшем будем считать s(t) неубывающей кусочно-непрерывно дифференцируемой положительной функцией безразмерного параметра времени t > 0. Соответствующее (безразмерное) напряжение cr(t) строится в виде композиции

двух независимых нелинейных операторов R и F7, действующих по схеме s(t) ь-> у(t) ь-> cr(t) :

o(t) = F(y(t)), у = Rs, где Rs:=s(t)ate SqXai[s,sSLp,w\[s]-j , t>0.(1.1)

a,p,q> 0, i,j> 0, P,X,m0,mx > 0 -(1.2)

материальные параметры (МП), методика определения которых по экспериментальным данным предложена в [1,2]; F(x), x > 0, - материальная функция (пока произвольная возрастающая вещественная функция, требования к которой и способ идентификации указаны в п.3 и статье [2]). Реологический оператор R отображает историю деформации s(т), 0 < т < t, в неотрицательную функцию y(t), которую будем называть квазинапряжением. В определение R входят интегральные операторы Lpа и Sqlm^, отображающие s(т), в функции переменной t > 0:

Л1/p(tл1/q

и SqXai[s,s]:=уУ^(Л\е(т)q +\тs(т)q(1.3) ОС (1.1) является обобщением предложенного в работе [3] соотношения

Г tVj/p

o~(t) = F(y(t)), y(t) = Asa\t_вs(т)pdт , n>0, a,p> 1, в£[0;1], которое, в свою очередь,

было получено из модели Фицжералда [4] путём введения МФ F и множителя t~в.

Цель введения в ОС (1.1) оператора SqAai, явно учитывающего скорость деформации, -

распространение ОС на материалы, обладающие повышенной чувствительностью к скорости деформирования, в частности, углеродные и керамические материалы при высоких температурах, титановые сплавы и металлы в состоянии сверхпластичности (для них Я << 1 и i; /(a-rj) >> 1).

Наличие девяти МП и МФ F(x) в ОС (1.1) предоставляет, как показано в [1,2,8], широкие возможности по управлению свойствами модели и по её настройке за счёт выбора значений МП с целью адекватного и всестороннего описания поведения вязкоупругопластичных материалов. ОС (1.1) позволяет описывать не только отдельные реологические эффекты, но и целый их комплекс: ползучесть, релаксацию, зависимость скорости ползучести от уровня напряжения, длительную прочность, затухание памяти материала, зависимость напряжения от деформации при постоянной скорости деформирования, зависимость "модуля упругости" при малых деформациях от скорости деформирования. В статьях [1,2] при любых допустимых значениях МП (1.2) выведены уравнения теоретических кривых деформирования, релаксации и ползучести, аналитически исследована зависимость свойств модели от МП и МФ. Получены необходимые дополнительные ограничения на МП, обеспечивающие наличие у теоретических кривых таких же качественных свойств, что и у типичных экспериментальных кривых широко класса вязкоупругопластичных материалов (возрастание напряжения с ростом деформации и её скорости, возрастание деформации при ползучести, убывание напряжения при релаксации, затухание памяти материала и т.п.):

d > 0, m0 < 0, d + m0 > 0, n1 <0,(1.4)

где d :=a + i-j, m0:= P + ;(a>1 -1) -ja>0 +iq~l -jpx, n1:= 1 -a>1 - ql -(1.5)

главные управляющие параметры модели, появляющиеся в уравнениях кривых деформирования, релаксации, ползучести и других её характеристиках. Примечательно, что каждое из этих ограничений возникает при рассмотрении нескольких различных аспектов поведения материала, что свидетельствует о достаточно высокой степени внутренней согласованности модели. В частности, они необходимы и достаточны [1,2] для существования степенной теоретической кривой ползучести при мгновенном нагружении (когда o(t) = const, т.е. y(t) = const, при t > 0):

s (t,or) = a(o) tn,(1.6)

гдеn = nc := -m0d"1 > 0, a = ac :=yhQ-h = f (o)h Q-h > 0,(1.7)

h := d"1 > 0, Q := Qnr = (Я + nq );/q (p(nc - p (q(ne - nj)^ > 0,(1.8)

f := F - обратная функция к МФ F(x), x > 0. В работе [2] доказано, что ограничения (1.4) обеспечивают затухание памяти при ползучести, и что совместно с требованием возрастания МФ F(x) они необходимы и достаточны, чтобы скорость ползучести возрастала с увеличением напряжения, а функция <j = <j(a,s), задающая теоретические диаграммы деформирования с постоянной скоростью a, возрастала по обеим переменным.

Цель данной статьи - подбор, конструирование и анализ критериев разрушения, хорошо взаимодействующих с ОС (1.1) (в том смысле, что они приводят к теоретическим КДП, обладающим такими же качественными свойствами, что и экспериментальные КДП широко класса вязкопластичных материалов (см. п.2)), разработка целого арсенала таких КР (зависящих от параметров) и удобной технологии высокоточной аппроксимации ЭКДП различных материалов. Это необходимо для моделирования КДП (материала или элемента конструкции) по результатам опытов на ползучесть до разрушения при высоких напряжениях и прогнозирования длительной прочности при относительно низких напряжениях (когда время разрушения слишком велико, чтобы получить экспериментальные данные о нём).

2. Свойства типичных экспериментальных кривых длительной прочности.

При фиксированном растягивающем напряжении а деформация образца нарастает (наблюдается ползучесть) и через некоторое время t* после приложения нагрузки происходит его

разрушение. График функции t*(a) (или a(t*)) называется кривой длительной прочности (КДП) материала (или элемента конструкции).

Данные испытаний показывают [6,7], что функция t*(a) всегда убывает и для многих вязко-упруго-пластичных материалов регистрируемые значения t*(ak) хорошо аппроксимируются (по крайней мере, при достаточно больших напряжениях) степенной функцией с отрицательным (вещественным) показателем /и:t* = Саи , а>а0 > 0, /< 0, C > 0,(2.1)

или двумя (иногда - тремя) степенными функциями с различными показателями в интервалах [а0,а1] и [а1,а2] (рис.1). В логарифмических координатах такие КДП представляются отрезком

прямой линии ln t* = /lna + ln С с угловым коэффициентом /и < 0 или двухзвенной (а иногда и трёхзвенной) ломаной. В последнем случае отрезок, соответствующий а <а1 (участок хрупкого разрушения), составляет с осью lna меньший угол, чем отрезок КДП для а >а1 (участок вязкого разрушения), т.е. //<\/и2\ и С1 <С2.

Рис.1. Типичные КДП вязкопластичных материалов t*(a).

Покажем, что при надлежащем выборе МФ F и выполнении ограничений (1.4) ОС (1.1), снабжённое подходящим КР, даёт теоретическую КДП, обладающую указанными свойствами.

3. Теоретические кривые длительной прочности для деформационного КР.