ДКР постулирует, что разрушение происходит в тот момент t = t*, когда деформация s(t) достигает критического значения s*, не зависящего от уровня напряжения и температуры:

s(t*) = s*, где s* = const(3.1)

Он описывает две разные ситуации: разрушение материала или элемента конструкции. Соответственно, s* обозначает либо материальную константу, либо предельную допустимую по конструктивным соображениям деформацию (классический пример: разрушение турбины вследствие ползучести её лопаток). В первом случае ДКР (3.1) с постоянным s* не всегда адекватен данным испытаний материалов. Во втором случае адекватность ДКР (3.1) не вызывает сомнений (если конструктивный критерий (3.1) срабатывает значительно раньше, чем происходит разрушение материала). Поэтому уравнение теоретической КДП, соответствующей ДКР (3.1), окажется полезным хотя бы для прогнозирования длительной прочности элементов конструкций. Для кривой ползучести (1.6) с показателем n > 0 (т.е. при m0 < 0 ) КР (3.1) даёт: at*n = s*, т.е.

t*(Y) = s*l/nQmy-m, или t*(c) = s*1/nQmf(c)-m, c> 0,(3.2)

где m := h / n = -m-1 > 0 , у = f (c), f := F 1 - обратная функция к МФ F ОС (1.1).

МФ F(у) не только определяет зависимость КП (1.6) от уровня напряжения (изохронные КП), но и отвечает за форму теоретических диаграмм c-s при деформировании с постоянными скоростями и определяется по экспериментальным ДД [2]. Если ограничиться моделированием материалов с возрастающими и выпуклыми ДД (не рассматривая пока материалы, на чьих ЭДД имеется площадка текучести, а вслед за ней - зона упрочнения), то на МФ F необходимо наложить следующие ограничения [2]: F (у) неотрицательна, непрерывна, кусочно дифференцируема, возрастает и выпукла вверх (т.е. F(у) > 0 и убывает) при у > 0 и F(0) = 0 . Из них следует, что f (c), c > 0, неотрицательна, непрерывна, кусочно дифференцируема, возрастает, выпукла вниз (f (c) возрастает) и f (0) = 0. Этими свойствами обладают, например, функции F(x) = HxM и F(x) = Hln(Bx + 1)M, x > 0, M e (0;1], B,H > 0.

Так как f (c) возрастает и m > 0, то t*(c) из (3.2)убывает при c > 0 и t*(c) — оо при c — 0 . Это согласуется с опытными данными и "здравым" смыслом. Зависимость t*^) степенная (для любой F (у)), поэтому в координатах ln t* - ln у КДП (3.2) - отрезок с угловым коэффициентом -m < 0. Зависимость t*(c) (3.2) является степенной с отрицательным показателем только тогда, когда f (c) (и F(у)) - степенная функция с положительным показателем.

Для степенной функции F(у) = H^1"4 (где M e (0; 1] в силу убывания F(у)) имеем f (c) = (c/H )1/M, и (3.2) даёт степенную зависимость: t*(c) = s*1/nQm Hm /M cm /M, т.е.

t*(c) = Q* H~McM, где ju:=-m/M = (Mm0)-1 < 0,(3.3)

Q*:= s*1/nQm - материальная постоянная, не зависящая от c , M и H.

Для МФ F(у), склеенной из двух степенных функций Ft(у) = HjMi, определённых на интервалах [0;у1] и [у1;у2] (например, в том случае, когда c1 := F(у) - предел текучести материала - см. [2]), зависимость t*(c) тоже будет склеена из двух степенных функций вида (3.3) с отрицательными показателями jut =- m / Mt = (Mim0)1 на интервалах [c0,c1] и [c1,c2]. В этом случае ТКДП (3.2) в логарифмических координатах будет состоять из двух линейных участков: ln t* = juf (ln c- ln Ht) + ln Q*. Именно это свойство типично для экспериментальных КДП многих

материалов (см. п.2, рис.1). Так как /л2/ Ju1 = M1 /M2, то условие выпуклости вверх графика F(у) M1 > M2 влечёт неравенство д <//2 для модулей угловых коэффициентов Jui, что и наблюдается в опытах (см. п.2). Отметим, что /л2/ Ju1 = t*(c1 + 0)/1* (c1 - 0) .

Наконец, если значения произвольной МФ F(у) интерполируются кусочно степенной функцией (с любым числом участков), то обратная функция f (c) будет кусочно степенной, и ТКДП (3.2) будет склеена из степенных дуг вида (3.3).

Благодаря своей простоте и согласию с экспериментальными данными для широкого класса материалов, ДКР (3.1) имеет длинный послужной список и славную кредитную историю. Он по-прежнему широко используется для прогнозирования длительной прочности не только элементов конструкций, но и материалов, хотя известно, что в последнем случае он не безупречен и далеко не всегда выполняется в опытах на разрушение при ползучести, и что критическая деформация s* ,

вообще говоря, не является материальной константой, а может зависеть от напряжения, температуры, дозы радиации и, возможно, от каких-то иных факторов.

4.Кривые длительной прочности для обобщённого ДКР.

Простейшее обобщение ДКР (3.1) получится, если считать, что деформация разрушения s*, зависит от уровня (безразмерного) напряжения:

s = s*, где s* = s0 ck , c>c0 > 0, s0 > 0, k e R .(4.1)

Для кривой ползучести (1.6) КР (4.1) даёт следующее выражение для t*:

t*(у) = s0 Q у F(у) , или t*(c) = s0 Q f (c) c(4.2)

Для степенной МФ F(у) = H^1"4 с M e (0;1] КДП (4.2) становится степенной зависимостью

t*(c) = Q* H - m/M cM( к)(4.3)

с показателем //(к) := (Mm0 )-1 + kn 1 = (Mm0 )-1 - kdm0 1 = (Mm0 - Mkd) . m :=-m-1, Q* := s01/nQm - материальные постоянные, не зависящие от c, M, H и k .

/i(k) < 0 только при условии Mkd < 1 (так как m0 < 0). Таким образом, требование убывания ТКДП t*(c) приводит к необходимости наложить на допустимые значения материального

параметра k в КР (4.1) ограничениеk < k , где k := (Md)-1(4.4)

В логарифмических координатах ТКДП (4.3) линейна:

lnt* =/(k)lnc + lnQ*H m M .(4.5)

Варьирование k позволяет регулировать угловой коэффициент /i(k) этой прямой, добиваясь его совпадения с экспериментальным значением (это способ идентификации МП k по ЭКДП). С увеличением k /u(k) возрастает, //(k) убывает (до нуля при k = k ), а ТКДП (4.5) вращается

против часовой стрелки вокруг неподвижной точки с координатами c = 1, t* = Q* H m/M. Чтобы сдвинуть эту точку, нужно изменить значение МП s0, входящего в выражение Q* := s01/nQm, или

ввести в КР (4.1) какие-то дополнительные свободные параметры (см. п.7,8).

Таким образом, в сочетании с ОС (1.1) деформационный КР (3.1) и его обобщение (4.1) приводят к теоретическим КДП, обладающим такими же качественными свойствами, что и экспериментальные КДП. Это свидетельствует о том, что ДКР, в принципе, неплохо согласуется с ОС (1.1). Однако хотелось бы иметь арсенал более чутких КР, допускающих регулировку за счёт дополнительных МП, учитывающих информацию, которой ДКР пренебрегает, и позволяющих максимально точно описывать ЭКДП более широкого класса материалов.

5.Критерий разрушения, учитывающий историю нарастания деформации.

Время наступления разрушения образца при ползучести зависит не только от уровня напряжения. Влияние иных факторов может оказаться столь значительным, что его будет практически невозможно учесть, не меняя структуру левой части критерия (3.1), а только вводя в его правую часть зависимость s* от напряжения (как в КР (4.1)) и каких-либо других величин.

Представляется целесообразным построить КР, родственные ДКР, но учитывающие историю нарастания деформации s(t), критерии, зависящие от характеристик кривой ползучести. Ведь она хранит интегральную информацию об условиях развития деформации и процессах, приводящих к разрушению: о температуре, об уровне напряжения, о величине и моменте догрузки при ступенчатом нагружении, о скорости ползучести, о накоплении дислокаций, развитии микротрещин, уменьшении эффективной площади, коррозии, скорости диффузии водорода и других агрессивных газов, сильно влияющих на длительную прочность [7] и т.п.

Простейший тип критериев разрушения - скалярные КР, постулирующие, что разрушение происходит в тот момент t* , когда некоторая числовая (безразмерная) характеристика деформации

s(t) достигает критического значения s*: s(t*) = s*. Необходимое свойство оператора M, переводящего s(t) в меру повреждённости s(t), - сохранение им монотонности: для возрастающей при t > 0 функции s(t) мера повреждённости s(t) должна быть возрастающей функцией времени t (в противном случае КР не будет срабатывать, а если будет, то совсем не так, как классический ДКР (3.1)). Это требование формализует представление о том, что процессы разрушения и нарастания деформации ползучести, тесно связанные общими структурными механизмами, положительно коррелированы, "сонаправлены". Критическое значение s* может быть материальной константой или величиной, зависящей от напряжения и температуры. Простейший частный случай описанной конструкции - ДКР (3.1), когда s(t) = s(t) и s* = const.

Выберем в качестве меры повреждённости среднее значение деформации за время t :

(1 tY"

su(t):=l-\s{T)udT , u > 0,(5.1)

Vt 0J

(как и ранее, считаем, что (t) - положительная неубывающая (кусочно) непрерывная функция при t > 0 ). Тогда получим следующее семейство КР, зависящее от параметров u , k , 0 :

su(t*) = s* , где s* =s0 ak, k e R, s0 > 0, и > 0.(5.2)

Степенная зависимость s* = s0 ak с k > 0 согласуется с данными многочисленных опытов, которые показывают, что с ростом напряжения деформация разрушения * , как правило, не

убывает [6]. КР (5.2) выглядит сложным по сравнению с ДКР (4.1), но аналитическое исследование сделает его столь же простым в приложении. Прежде всего, покажем, что для любой возрастающей функции s(t) и любого и > 0 среднее su (t) - возрастающая (дифференцируемая) функция при t > 0 , и потому его можно использовать как меру повреждённости в КР.

su(t) = su(t)(ut)1 [((t)/s?u(t))u -1](5.3)

Так как s(т) > 0 и возрастает, то s(т) < s(t) при те[0,t]. Поэтому £ s(r)udr<s(t)ut, т.е.

0 < su(t) < s(t) при t > 0. Следовательно, в силу (5.3) su(t) > 0 при всех t > 0. Все три последние неравенства строгие, если s(т) не постоянна на промежутке (0; t] (тогда s(т) < s(t) при т <т1 для некоторого т е(0, t) ) □

Из оценки su (t) < s(t) следует, что значение времени разрушения t*, определяемое по КР (5.2) всегда больше, чем время разрушения, определяемое по ДКР (4.1).

Так как среднее su (t) возрастает с увеличением параметра u, то значение времени

разрушения t*, определяемое по КР (5.2), убывает с ростом u, т.е. КР (5.2) становится всё более

жёстким с увеличением u . Кроме того, при любом фиксированном t > 0 su (t) —» s(t) при u ^+00,

и функция su(t) непрерывна по параметру u > 0. Эти свойства показывают, что критерии (5.2)

образуют монотонную и непрерывную шкалу критериев, более мягких, чем КР (4.1), но сколь угодно мало отличающихся от него при больших значениях u . Это свойство очень полезно для наиболее аккуратной настройки модели на имеющиеся экспериментальные данные о времени разрушения: если эти данные плохо описываются ДКР (3.1) или (4.1), то можно выбрать более подходящий критерий семейства (5.2), плавно и монотонно изменяя u .

6. Критерии разрушения, зависящие от средней скорости деформации.

Сформулируем КР, родственные КР (5.2), но в явной форме зависящие от скорости деформации s(t). В их основе лежит идея определения средней деформации через среднюю скорость v(t)

интервале т е [0, t]: s(t) := s(0) + v(t) t. Слагаемое s(0) необходимо, чтобы среднее s(t) не потеряло чувствительность к увеличению деформации (t) на постоянные слагаемые. Физический