приобретает вращательное движение по часовой стрелке - так же, как у тормозящихся гироскопов.

Если скрыть содержимое колеса (вращающиеся гироскопы, тормозящие устройства, таймер) от глаз наблюдателя, то в момент срабатывания торможения гироскопов он увидит следующую необычную картину. Колесо, без каких бы то ни было внешних воздействий, начнёт ускоренно вращаться вокруг своей оси.

Для колеса действие, приводящее его во вращение, оказывается собственным (или внутренним) действием. Внутреннее (невидимое) вращение на колесе (вращение его частей) переходит во внешнее (видимое) вращение колеса как целого.

Подобные явления могут происходить (и происходят) в жидкости. Действительно, если уподобить частицу жидкости колесу из описанного эксперимента, то скрытым гироскопам колеса следует уподобить невидимые мельчайшие частицы жидкости, вплоть до молекул и атомов. Эти мельчайшие частицы жидкости могут обладать (и обладают) собственными угловыми моментами. Векторная сумма таких угловых моментов есть внутренний угловой момент частицы жидкости. Если в результате некоторой перестройки внутри частицы жидкости измениться её внутренний угловой момент, то это непременно приведёт к изменению её внешнего углового момента, её видимого движения.

Процесс перестройки в объёме среды, при котором происходит выстраивание угловых моментов частиц преимущественно в одном направлении, означает фазовый переход второго рода, когда жидкость или газ не меняют своего агрегатного состояния. Таким образом, внутренний угловой момент среды можно рассматривать как параметр порядка фазового перехода второго рода, происходящего в сплошной среде при её движении.

Оказывается, что и уравнения Эйлера и уравнения Навье-Стокса не учитывают возможности фазового перехода второго рода. Но именно в этой возможности и кроется разгадка парадокса сингулярности, о котором было написано выше. При приближении жидкости к оси симметрии вся циркуляция сбрасывается во внутренний угловой момент жидкости. Таким образом, фазово-кинематическая степень свободы внутреннего углового момента позволяет разрешить парадокс бесконечного кручения на оси.

Известно [4], что интегральное уравнение, выражающее закон изменения углового момента материального объёма V(t) идеальной жидкости, мысленно ограниченного поверхностью F (t), записанное в виде

— j [х х W\dV = j" p [n х x\dF,

оказывается следствием пары уравнений:

d

-закона сохранения массы— I dV = 0;(3)

dt V (t)

-закона изменения импульса — j" и dV = - j p dF.(4)

Здесь n - внешняя нормаль к поверхности F(t).

Не вошедшее в систему исходных интегральных уравнений (3), (4) уравнение, выражающее закон изменения углового момента, выписывается стандартно без учёта удельного внутреннего углового момента среды j . С учётом внутреннего вращения в

идеальной жидкости закон изменения полного углового момента материального объёма может быть записан так:

— J ([[хй] + j)dV = J p[nxx]dF .(5)

Эта запись выражает следующую формулировку: «Скорость изменения суммы угловых моментов внешнего и внутреннего вращений частицы идеальной жидкости равна моменту сил давления, действующих на частицу по нормали к её поверхности».

Если суммарный момент сил давления, действующих на частицу, равен нулю, то это ещё не означает, что внешний угловой момент частицы будет оставаться неизменным, т. к. полный угловой момент частицы может перераспределиться между внутренним и внешним вращательными движениями в результате фазового перехода второго рода.

Отказ от рассмотрения возможности фазового перехода второго рода лишает механику сплошных сред возможности представления одного из механизмов вихреобразования и, как следствие, возможности представления процессов, происходящих в закрученных (завихренных) течениях сплошных сред. Ярким примером этому является широко известный среди аэродинамиков вихревой эффект Рэнка, обнаруженный на воздухе [5, 6]. Устройство получило название «вихревой трубки» (рисунок 1).

Парадоксальность эффекта заключается в том, что если воздух рассматривать как невязкий нетеплопроводный газ, то согласно интегралу Бернулли для непрерывного стационарного течения газа, в вихревой трубке все порции воздуха должны иметь одинаковое удельное теплосодержание - удельную энтальпию торможения. На практике же это далеко не так.

Рисунок 1. Вихревая трубка Рэнка.

Как известно из курса динамики невязких нетеплопроводных сплошных сред [4], существует явное разграничение между вихревыми и безвихревыми (потенциальными) течениями. Это разграничение можно считать прямым следствием теоремы Лагранжа, которая гласит: «Если движение невязкой среды непрерывно и баротропно и если в

некоторый момент времени в какой-либо частице (в какой- либо массе среды) вихрь равен нулю, то он будет равен нулю в этой частице во все моменты времени». При этом под непрерывностью течения понимается непрерывная дифференцируемость всех функций, представляющих поведение среды, а именно, скорости, давления, плотности, удельной внутренней энергии, удельной энтропии и т.д.

Баротропное движение среды характеризуется тем, что в нём поверхности уровня плотности и давления совпадают. В несжимаемой жидкости условие баротропности выполнено всилу постоянства её плотности.

Условие баротропности для непрерывного течения нормального газа оказывается выполненным для изоэнтропического движения. Условие изоэнтропичности оказывается естественным следствием того факта, что при непрерывном движении невязкого нетеплопроводного газа энтропия в частице сохраняется [4]. Поэтому, если в некоторой массе газа в какой-то момент времени распределение энтропии по частицам газа было постоянным, то оно будет постоянным в этой массе газа и в последующее время.

Итак, условие баротропности можно считать выполненным не только для движения жидкости, но и для непрерывного движения невязкого нетеплопроводного газа (далее, просто, газа).

Т.о. согласно теореме Лагранжа вихрь со в частице идеальной среды может возникнуть только при протекании этой частицы через поверхность разрыва в течении среды. Разрыв, через который среда течёт, называется неконтактным разрывом. Если до поверхности такого разрыва частицы среды обладают нулевой завихренностью, то после поверхности разрыва вихрь может быть отличным от нуля.

Заметим, что для газа известно всего два типа неконтактных разрывов: ударная волна и слабый разрыв на звуковой характеристике. На ударной волне функции, представляющие поведение газа терпят разрыв первого рода. На слабом разрыве только некоторые первые производные имеют разрыв первого рода, в то время как сами функции непрерывны.

Что касается движений несжимаемой жидкости, то неконтактных разрывов обнаружено вообще не было. Точнее, автору не известно о публикациях, в которых бы описывались неконтактные разрывы в несжимаемой жидкости.

Динамику идеальной несжимаемой жидкости можно считать частным случаем динамики невязкого газа. Действительно, достаточно положить плотность постоянной, т. е. рассматривать изохорические движения газа, как уравнения движения газа переходят в уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости.

Во-первых, из уравнений сильного неконтактного разрыва (ударной волны) для газа следует невозможность подобного разрыва для жидкости.

Во-вторых, из теории слабого разрыва в газе известно, что если поверхность является поверхностью слабого разрыва, то она с необходимостью должна быть характеристикой. Но характеристические поверхности в несжимаемой жидкости - это исключительно контактные характеристики, поэтому можно сделать заключение о том, что неконтактных разрывов в жидкости быть не может.

Отметим, что при выводе соотношений на сильном разрыве в газе не принимается во внимание уравнение, выражающее закон изменения углового момента, потому как считается, что это уравнение не является независимым и есть следствие двух уравнений, выражающих законы сохранения массы и изменения импульса [4]. Это действительно так, если не принимать во внимание фазово-кинематическую характеристику - удельный внутренний угловой момент среды.