длина дуги для t0 < t < t1

jr (t)dt = jV[x(t)]2 + [y(t)]2 + [z(t)]2 ]it .

Кривизна и кручение осевой линии могут быть классифицированы. Следует отметить лишь несколько смысловых ограничений. Ясно, что знак кривизны осевых линий носочной части будет постоянным, а вариация кручения будет незначительной. Это означает, что во многих случаях следует считать осевую линию плоской кривой.

Если к указанным двум величинам добавить коэффициенты сужения и формоизменения профиля сечения (некоторые из способов их определения будут рассмотрены далее), то носочная часть поверхности колодки будет полностью определена, а для обуви массового производства можно обосновать набор динамических диапазонов классификатора. Несмотря на

привести к появлению на поверхности трехсторонних участков, которые описываются сфероидическими, сферическими или плоскими треугольниками.

Конфигурация носочной части предопределяет два метода ее описания: воспроизведение верхней поверхности и отдельно нижней части или путем набора пропорционально уменьшающихся сечений, последовательно располагающихся вдоль продольной направляющей.

В первом случае основой для проектирования является пространственная кривая ребра следа колодки [12]. Во втором методе [6,4] проектирование осуществляется с помощью направляющей.

Конфигурация носочной части определяется характеристиками осевой линии, вдоль которой расположены уменьшающиеся и, возможно, изменяющие форму сечения. Если предположить что осевая линия - плоская, то в этом случае кручение осевой линии равно нулю, и она будет характеризоваться двумя инвариантными параметрами: длиной (в натуральной параметризации) и кривизной.

Для описания осевой линии и ее классификации используем две числовые характеристики -длину /от сечения 0,9D/ и среднюю кривизну.

Для произвольной параметризации r (t) = {x(t), y(t), z(t)} формула для кручения в точке t

имеет вид

И1)=Иа r -(о, r-(ц] ы~ Ио" "(о]2 •

Штрихи обозначают дифференцирование по t.

Кривизна пространственной кривой вычисляется по формуле

формальное отсутствие ограничений на длину, кривизну осевой линии и коэффициент сужения, существуют эстетические ограничения, диапазон изменения которых определяется из существующей базы данных, объединяющей особенности формообразования носка за последние 100-150 лет. Анализ позволяет получить максимальные и минимальные значения параметров, а также найти корреляционную матрицу, устанавливающую взаимный диапазон их изменчивости.

Таким образом, упрощенная схема проектирования носочной части предполагает задание численных значений длины, кручения, кривизны осевой линии, коэффициентов формоизменения профиля и сужения. Контроль выбора параметров осуществляется сравнением данных с корреляционной матрицей базы данных носочной частей. В случае задания проектировщиком численных значений или положения точек осевой линии основные ее параметры вычисляются автоматически.

Осевая линия носочной части колодки

Рассмотрим подробнее некоторые возможные способы определения осевой линии и уточним ее роль при проектировании носочной части колодки. Колодка (стопа) имеет сложную, несимметричную форму. Как следствие, вообще говоря, осевая линия будет представлена сложной пространственной кривой. При изучении геометрических особенностей осевой линии представляет интерес информация

-о наличии функциональной взаимосвязи между ее параметрами и геометрическими свойствами поверхности носка; при существовании такой связи появляется возможность прогнозирования свойств рассматриваемой поверхности;

-об отсутствии зависимости от системы координат, в которых дано описание поверхности колодки и произведено ее измерение.

На сегодняшний день осевых линий, удовлетворяющих указанным выше требованиям, ни в стопе, ни в колодке не применяется. С некоторой степенью условности к осевой линии можно отнести относительные оси базирования стоп и колодок, предложенные в публикациях [9-11]. Эти оси являются прямолинейными, а вводимые с их помощью системы координат нашли отражение в ГОСТе [1]. Оси координат и система координат, используемая при описании колодки, заслуживают особого внимания, поскольку требование инвариантности осевой линии естественным образом приводит к обсуждению существующих в проектировании обуви локальных систем координат и связей между ними. Промежуточным этапом в анализе систем координат для обувных колодок является способ представления колодки в ГОСТ, где базирование обувной колодки в пространстве основывается на ее ориентации относительно

горизонтального отрезка прямой а-а (рис.3), который проводится через наиболее выступающие точки носка и пятки.

Рисунок 3 Чертеж обувной колодки (ГОСТ 3927-88) а - основные параметры колодки б - контрольные

"Форму колодок следа, продольно - вертикального сечения (пятки, следа, носка) и поперечно - вертикального сечения (0,07D и 0,18D) проверяют шаблонами" (п.35.[1], а для установки шаблонов на поверхности объемного тела колодки предусматриваются "наколы" (выступающие маяки).

В Государственном Стандарте на обувные колодки отсутствуют какие-либо расчеты, аналитические зависимости, устанавливающие функциональную взаимосвязь между базовыми параметрами изделия. Приведены лишь фактические данные, рекомендации и требования, что "колодки должны быть правильно построены" (с.4, п.10 [1]). Указанные на чертеже размеры (рис.3) больше соответствуют оценке габаритов вместимости изделия.

В качестве нулевой (исходной) точки предлагается выбрать плоскость, перпендикулярную оси, проходящей через "самую крайнюю точку пяточной части" (кавычки автора). Даже для плоскости листа (если пренебречь сложной формой колодки) положение оси не определено. Допустив возможность найти точку сопряжения пяточной части контура и ребра следа, где, очевидно, существует некая особенность, т.е. неопределенность в математическом смысле, совершенно не ясно, как обнаружить вторую точку пересечения оси с плоским сечением колодки. Дополнительная проекция (рис.3) не вносит ясности относительно ориентации оси и всей системы координат. Поэтому не вполне понятна рекомендация - "откладывая размер по оси следа и восстанавливая перпендикуляр до пересечения с профилем гребня..." Проблема в том, что через данную точку на оси следа проходит бесконечное множество перпендикуляров. Как среди них выбрать нужный?

Итак, опорная плоскость не определена; сделать это можно, например, так: указать координаты точек ребра - перпендикулярное проецирование даст контур дискретного сечения следа колодки, который, кстати, имеет мало общего с разверткой следа. При развертке следа " ось следа" никогда не будет прямой линией. Выбор перпендикуляра к оси следа связан с

точки на поверхности колодки