Проектирование обувных колодок с переменной

носочной частью Сообщение 2. Проектирование поперечных сечений

Замарашкин К.Н. (pddi@yandex.ru)

Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна

Поперечные сечения носочных частей обувных колодок не отличаются особым разнообразием. Можно выделить две основные формы верха носка: с наличием выраженной четырехугольности или без нее. Последняя форма носка получила большее распространение, хотя в современной моде используют силуэты переходных форм с профилем, близким к прямоугольному.

Для систематического описания поперечных сечений можно использовать разные функциональные зависимости. Выбор остается за конструктором. Для проектирования носочной части колодки целесообразно выбирать наиболее простые функции из тех, которые хорошо описывают профиль сечения в пределах заданного допуска. Стандартное описание с помощью кусочно-полиномиальных функций (например, кубических сплайнов) на практике приводит к необходимости в теоретических исследованиях решать уравнения как минимум третьей степени. Рассмотрим более подробно квадратичные зависимости. Аппроксимируем верхний контур сечений носочной части колодки квадратичным полиномом с помощью метода наименьших квадратов. Результаты вычислений приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1. Приближение верхней части носка женской колодки полиномом второй степени по сечениям (Z - расстояние сечения от начала координат, Rs - коэффициент определенности)

Таблица 2. Приближение верхней части носка мужской колодки полиномом второй степени по сечениям (Z - расстояние сечения от начала координат, Rs - коэффициент определенности).

Анализ расчетов свидетельствует о следующем: коэффициенты полиномов при разных степенях переменных совпадают по знаку и по порядку величины в разных сечениях. Это означает, что сечения сходны между собой. По длине носочной части (которая составляет примерно 20 - 100 мм) квадратичный член вносит вклад, сравнимый с вкладом линейного. Следует особо отметить, что упрощающее предположение о близости форм верха поперечных сечений носка традиционного фасона полностью подтверждается из таблицы коэффициентом сходства при приближении по методу наименьших квадратов: степень сходства сечений верха носка колодки с параболой выше 80% для мужской колодки и 90% для женской колодки для всех сечений.

Для описания всего семейства поперечных сечений (на базе парабол) целиком необходимо определить зависимости a(s), b(s), c(s), где a, b, c - коэффициенты аппроксимирующей

параболы, s - длина дуги осевой линии носочной части (или номер поперечного сечения). Аппроксимируем значения коэффициентов парабол сечений носочной части колодки квадратичным полиномом с помощью метода наименьших квадратов. Результаты вычислений приведены на рис.1 и 2.

Рисунок 1 Графики зависимости коэффициентов парабол от длины осевой линии (мужская колодка)

о

щ___А

-5 -10 -15

: _„

1 1 Г

215 220 226 230 23S 240 216 220 225 230 235 240 Рисунок 2. Графики зависимости коэффициентов парабол от длины осевой линии (женская колодка)

Анализ графиков для мужской и женской колодок показывает, что функциональные зависимости существуют и однозначны. Вид графиков показывает, что для большинства коэффициентов можно воспользоваться приближением квадратичной функцией. Это означает, что поверхность носочной части колодки можно описать набором двух ортогональных семейств парабол, причем семейства отличаются знаком кривизны. Первый вывод позволяет искать приближение всей носочной части поверхности колодки в виде биквадратичного

сплайна f(u,v) = ^^aijulvJ , второй вывод говорит о том, что поверхность носочной части

колодки очень близка по форме к одной из стандартных поверхностей второго порядка -однополостному гиперболоиду. Практическое значение выводов велико: известно, что сложную поверхность колодки до сечения 0.9D приходится описывать достаточно сложным в теоретических исследованиях и при расчетах бикубическим интерполяционным сплайном. Оказывается, носочная часть весьма точно может быть представлена полиномом меньшей степени, притом хорошо изученным.

В случае, когда форма верха сечения носочной части далека от параболической, следует воспользоваться ее представлением в виде сверхэллипса [1]. Сверхэллипсом называется функция вида

—+у2=1

an + bn

Причем показатель степени n(n > 2) управляет формой кривой: чем больше n, тем ближе кривая к прямоугольнику. Показатель степени следует выбирать в зависимости от требуемой формы сечения.

Для классификации типов носочных сечений и внесения их в соответствующую базу данных, следует определить набор классификационных параметров. Как упоминалось ранее, некоторые из параметров (параметры осевой линии) однозначно определят форму носочной части и могут быть рекомендованы к стандартизации, некоторые (параметры поперечных сечений) зависят от выбора функции представления верхнего контура сечений и, следовательно, от произвола проектировщика.

Определим два параметра описания поперечных сечений носка: коэффициент формоизменения и коэффициент сужения. Коэффициент формоизменения определим как показатель степени в приближающей верх сечения функции: при n=2 профиль верха сечения закругленный, гладкий, и может быть представлен в декартовых координатах в виде

y = ax + bx + c

или в виде дуги эллипса

2 2 x У л

22 a b

При n>2 (n<6) профиль верха сечения близок к прямоугольному, причем, чем n больше, тем отчетливее прямоугольность. В этом случае профиль описывается зависимостью вида

xn + yn =1 an bn

Где а, b- полуоси аппроксимирующего сверхэллипса. Таким образом, коэффициент формоизменения kf = 2::6. Следует особо отметить, что показатель степени не обязан быть

целым числом.

Определив параметры семейства поперечных сечений верха носочной части в виде зависимости a(s), b(s), c(s), a^s), a^s), где s - длина дуги осевой линии, введем коэффициент сужения носочной части в виде

k = a(0) S a(1)

где а(1) и а(0) - соответственно широтные параметры последнего и первого сечений (иначе говоря, а(0) есть полуширина аппроксимированного сечения колодки 0.9D). Значения