(p1 -p2 Л

ln ——— I (во втором случае).

Можно заметить, что вклад первого члена - отношение размера базы к расстоянию

/ bP1 - P2 тт

до звезды (--) значительно меньше, чем вклад второго члена----—. Поэтому в

R+p2

дальнейшем мы будем анализировать только зависимость разности фаз от второго члена, пренебрегая всеми остальными слагаемыми в формуле (6).

Выпишем выражение для разности фаз лучей на двух концах базы:

8¥ = ^--P(7)

c p

Здесь Ap - разность прицельных параметров, а p - "средний" прицельный параметр.

Разность прицельных параметров Ap есть база, спроектированная на плоскость линзы. Другими словами, можно написать:

R

Ap = b cos <р—2°

Rsd

Здесь <р - угол между базой b и плоскостью дефлектора, Rso - расстояние от источника света до наблюдателя и Rsd - расстояние от источника до дефлектора.

R

В дальнейшем будем использовать величину bp = b—— . Введем также угол ф = <р + ^/2 -

угол между направлением прихода лучей и вектором базы b . Прицельный параметр p « 9Rdo примерно равен расстоянию до дефлектора, умноженному на угловое расстояние между дефлектором и источником 9. Подставим все величины в уравнение для изменения фазы 8у и найдем, что фазовая задержка описывается уравнением вида:

2лЪ„ cose? 92 9e - размер конуса Эйнштейна, определяемый как:

2 _ 4GMD Rsd

9 =

e c2 (Rsd + Rdo ) Rd

Чтобы пояснить множитель cos <p , вычислим время задержки в случае,

когда дефлектора нет. В этом случае время задержки есть т = b sin <р.

c

Когда дефлектор присутствует, направление прихода лучей меняется и задержка составляет т =— sin

(<Р + 89), где 89- изменение направления прихода лучей. Разница

c

т -т показывает изменение направления на источник 89. Как легко видеть, для величины 89 получается уже известное уравнение [11], [12]:

89 = ^(9)

9

Это угловое смещение совпадает со смещением, полученным при решении уравнения движения фотона как частицы в поле звезды - дефлектора (т.е. в приближении геометрической оптики).

Будем считать, что звезда - дефлектор движется с некоторой угловой скоростью

/й.Тогдаприцельныйпараметрявляетсяфункцией

времени р = @0 + 2(0 • й) t + /А2 , где О0 _ угловое расстояние между видимыми

положениями дефлектора и источника в начальный момент времени. Следовательно, даже если бы база интерферометра была неподвижной, то появлялась бы фазовая добавка, которая менялась бы со временем:

2лЪп cose? Q1 5щ =-Р-Z. 0(10)

Я 0(f)V

Здесь 0(t) = -J#0 + 2(6^0 • //) t + /2t2 - абсолютная величина углового расстояния между

видимыми положениями источника и дефлектора, а Я =--длина волны, на которой

а

ведется наблюдение.

Помимо задержки, при интерференционных наблюдениях измеряют также частоту интерференции [23], которая является производной по времени от разности фаз дцг. В классических схемах интерферометрии частота интерференции возникает из-за суточного вращения базы относительно небесной системы координат.

Знание частоты интерференции позволяет дополнить систему уравнений для определения координат источника и параметров вращения Земли дополнительными уравнениями, а также позволяет снять вырождение некоторых параметров. Конечно, при учете эффекта слабого микролинзирования частота интерференции будет зависеть не только от параметров вращения Земли, но и от скорости и положения дефлектора.

Однако, как будет показано ниже, вклад эффекта слабого микролинзирования в частоту интерференции пренебрежимо мал.

Производная от времени задержки или от разности фаз будет содержать несколько членов. Первый - это производная по времени от геометрической задержки. Она содержит векторное произведение вектора базы на вектор угловой скорости вращения Земли или вектор угловой скорости вращения базы. Этот член умножается на дополнительный

( О2 ^

множитель 1 + —— , возникающий при дифференцировании эффекта слабого О

v j

По]

микролинзирования. Поскольку считается, что множительзначительно меньше

единицы, то в общей сумме им можно пренебречь.

Второе слагаемое в общей сумме возникает при дифференцировании 0(t) по времени.

Таким образом частота интерференции q равна:

/ ч 2ж dl\ 2лЬп cose 2\&п/й )+/u2t

0J; + 2(0рй) t + /i2t2

Здесь мы уже опустили множитель 1 + в первом члене суммы.

Будем также полагать, что произведение угловой скорости перемещения дефлектора по небу за интервал проведения измерений значительно меньше, чем угловой размер прицельного параметра 0р, /й << 0р .

Тогда можно значительно упростить второе слагаемое и окончательно получить формулу:

Q(( )=^~^(bpcosp)—i--2 Vpl)(12)

Я dtЯ 9

Up

здесь Пр - единичный вектор на небесной сфере (двумерный вектор), направленный из

положения дефлектора к положению источника.

Произведем оценки величины эффекта слабого микролинзирования и его вклада в частоту интерференции. Первое слагаемое в сумме (12) представляет произведение частоты вращения базы (для классической РСДБ схемы - скорость вращения Земли Q© ) на отношение длины базы к длине волны приемника:

~2ж~Я ^®,

второе слагаемое есть 2 b 9]

~2пт -4- м.

Я 9

Отношение двух слагаемых по порядку величины равно:

~ 99l jl

Уже первый сомножитель представляет малую величину. Для вероятного

положения дефлектор - источник эта величина составляет 10 4 6. Второй сомножитель -отношение угловой скорости движения дефлектора к угловой скорости вращения Земли. Первая скорость составляет порядка миллисекунд дуги за год, тогда как вторая скорость составляет полный оборот за сутки. Наиболее вероятное отношение этих скоростей есть

10 10 12 . Поэтому вклад эффекта слабого микролинзирования в частоту интерференции пренебрежимо мал.

4. Видимое движение источника по небесной сфере.

Поскольку эффект слабого микролинзирования заключается в том, что меняется видимое положение звезды на небе, а остальные параметры излучения (интенсивность, поляризация, спектральное распределение интенсивности), а также видимая форма изображения звезды меняются пренебрежимо мало, то изображение в фокусе телескопа пренебрежимо мало отличается от изображения той же звезды без учета эффекта слабого микролинзирования.

Однако появляется одно важное отличие. Теперь даже источники, которые находятся на расстояниях, сравнимых с горизонтом Вселенной, могут показывать видимое движение. Это движение обусловливается движением дефлектора, который находится в нашей Галактике и видимое движение которого, безусловно, является наблюдаемым.

Для вычисления угловой скорости перемещения изображения по небесной сфере выпишем векторное уравнение, описывающее видимое движение источника [13]:

92

щ (t )=Lst + АП1 (()—2—(13)

An2 (t)

здесь h~j (t)- двумерный вектор проведенный из истинного положения источника в момент времени t = 0 в его видимое положение, Ls - угловая скорость перемещения источника по небесной сфере, h1 (() - двумерный вектор, проведенный от дефлектора к истинному положению источника.