Использование методов физической кинетики для определения электромагнитных свойств мелкой металлической частицы

Моисеев И. О. (miosw@hotbox.ru), Юшканов А.А., Яламов Ю. И. Московский Государственный областной университет

Краткая аннотация

Проделано вычисление сечения поглощения электромагнитного излучения в

сферической металлической частице с помощью полно пространственного моментного метода. Расчет выполнен в пределе низкой частоты, когда вклад вихревых токов в поглощение доминирует, и для сравнительно мелких частиц (радиус ~ 10 нм), что позволяет пренебречь скин-эффектом. Приведено сравнение сечений поглощения в сферической частице рассчитанных моментным методом со значением, полученным в точном кинетическом расчете. Отличие в 7.6 % доказывает пригодность применения метода для расчета электромагнитных свойств металлических частиц.

Введение

В мелкой металлической частице электромагнитные свойства имеют ряд специфических особенностей по сравнению с такими же свойствами у крупных образцов металла. Например, поглощение электромагнитной энергии не может быть уже описано уравнениями макроскопической электродинамики, так как при размере R частицы, сравнимым с длиной свободного пробега Л электрона в ней, рассеяние электронов на границе частицы приводит к нетривиальной зависимости свойств от отношения R/Л.

Математическая модель и расчет

Будем рассматривать малую частицу, у которой R/Я «1, где Я - длина волны

падающего излучения, при температуре Т много меньше температуры вырожденного электронного газа. Будем считать, что частица имеет ферми-поверхность сферической формы. Наша цель состоит в определении зависимости электромагнитных свойств частицы от ее размера и от частоты электромагнитного излучения.

Однородное переменное магнитное поле плоской электромагнитной волны вызывает отклик электронов проводимости, описываемый функцией распределения f = f0 + f1, где f0 - равновесная функция распределения, [1] равная f0 = 0 (Ef -E)

d rdh т

f0

-S(E - EF ),

dE

где a> - частота падающей электромагнитной волны, V - скорость электрона внутри частицы, E - напряженность электрического поля электромагнитной волны, т - время релаксации электрона, e - заряд электрона. Функцию f1 можно представить в виде:

f df §{V - Vf)

f1=dEE n = V р.(2)

dEmVf

Здесь Vf - скорость электрона на поверхности Ферми, m - масса электрона.

Подставим f1 в виде (2) в кинетическое уравнение (1). Домножим полученное уравнение на величину комплексно сопряженную к ср1 - на ср*:

. sty-Vf) . V _E_ v )др1 * t7Edf0 *

mVfmVfdrdE

TmVf

(3)

Заметим, что третий член левой части равенства (3) можно записать следующим образом:

eVE f р*=-eVVE S(E - Vf )р*

dEmVf

Учтем, что плотность тока

j = 2e -\ J—S(E - Vf )pxdV и

\ h j - mVf

_ 1 f--* 3

Q = J jE d Г - диссипируемая в объеме частицы в единицу времени энергия, тогда уравнение (3) можно записать в виде (h - постоянная Планка):

2

в виде

f (2em3VЛ Л

Jlh3mVf V f/ 1

E *d 3r J J

[1,0 < E < Ef,

= iE и Ef - энергия электрона и энергия Ферми соответственно. f1 -

10, Ef < E.

отклонение функции распределения от равновесной f0. Она, в линейном, по внешнему полю, приближении, удовлетворяет кинетическому уравнения Больцмана для электронов [2,3]:

2 ^1 iRef-L 1

h J 2 \y-mVi

Js(E - Vf )p1p1*dVd3r - 2

m3 IF

Re

mV

f J

xJ-(v - Vf )p1p1*d 3Vd 3r Отсюда получаем:

+

3

m

v ~hhf J

Re JS(E - Vf )X. MVd

Q = ^Re J jE *d3r

m3 / 1

h 2т JmVf

+

+

-1Re(ia) J^(E - Vf d Vd 3r

ОJml/

(4)

+

2

1

mVf dP1

+

2

dr

d 3Vd 3r )

Второй член правой части выражения равен нулю, а третий, используя уравнение Остроградского-Гаусса, запишем в следующем виде:

dp1

-(v - vf)

mV

dr

mV

f v

dr

d 3Vd 3r

2

Таким образом, для средней диссипируемой мощности Q справедливо выражение:

2Re J jE *d 3

2

r =

2 ^(-^Re J-(V - Vf )р9рр^d Ed

(5)

r +

2т

mV

4 J mVf

Функцию ср1 будем искать моментным методом - раскладывая по моментам Ср и CrC9

[4]: р1 = N{afp+ ia2Cp+ bfpCr + ibfpCr ) =

= NC9((a1 + ia2 + b:LCr + ib2Cr), где N = exp(-ia t) sin0 a1, a2, b1 и b2 - функции

VV

координаты r. Ср и Cr - безразмерные скорости ( Cr = — cos a, Cp = — sin a cos в ), a, в,

VfVf

0, с - углы в сферической системе координат в пространстве скоростей с полярной осью вдоль оси r.

1

f