ih 2m

(3)

Здесь m- масса частицы, ее пси-функция, означает комплексное сопряжение, q- целочисленный индекс (1,2,3) и/или координата, в которой берутся производные. В общем случае r,t- комплексные числа; проницаемость барьера задана выражением T=k1t2/k3, а коэффициент отражения R=r2.

U

I

a1

II

a2

III

a3

U1<0

U2

1/t

E<0

r/t

1*1 = J ^(E-U1)

h2

^2

2m**

(E-U2)

U3

*3 =.

2m3

h2

(E - U3)

x

Рис.2. Тестовый барьер

прямоугольной формы. Волна падает справа налево, амплитуда прошедшей волны 1, падающей r/t, отраженной- r/t. Базовые параметры: E=-3эB, U^-ЮэВ, И2=0эВ, и3=-5эВ; a1=a2=a3=2.0A

Без этого предположения было бы крайне затруднительно сформулировать математическое определение T(E), и в случае неплоскостности потенциала на границах, вероятно, пришлось бы разлагать пси-функцию в ряд Фурье по системе гармоник, причем базисное число этой системы необходимо выбрать из каких-либо физических соображений.

Стандартная модель для проницаемости барьера основана на использовании приближения Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ) квантовой механики. Это приближение в свою очередь основано на: во-первых, условии применимости квазиклассического подхода, означающего в данном случае плавность изменения потенциальной энергии с координатой (4); во-вторых, предположении эффективной массы, означающем параболичный закон дисперсии для блоховских волн, что позволяет избежать рассмотрения локальных особенностей потенциала:

т *h dU/x /ox

p j =-ih

o

m

1

d2 E{k)

<< 1

p

(4)

2

h

играет неявно формулируемое предположение о том, что слева и справа волновая функция является суперпозицией плоских волн (что предполагает наличие «полочек» на профиле потенциальной энергии):

Здесь выписаны: оператор импульса (в координатном представлении), определение компонентов тензора эффективной массы в k-й энергетической подзоне для i-й и j-й пространственных координат (для простоты вместо m можно подставлять либо

*

диагональный элемент m xx, либо комбинацию диагональных элементов, например, обратную сумму их обратных величин). Таким образом, во всех выражениях туннельного коэффициента неизбежно будут участвовать три эффективных массы через волновые числа k1,K2,k3 для металла, диэлектрика и кремния. Вопрос об их численных значениях неоднократно обсуждался, но до сих пор эти величины являются подгоночными параметрами для средств САПР. Так, в программе DESIS приняты [5] за реперные такие значения: mSi=0.19, mSiO2=0.42, mAl=0.32. Разброс этих значений у разных авторов достигает 50%. Аналогично, подгоночным параметром является величина барьера на границе Si-SiO2, для которой в DESIS полагается по умолчанию 3.15эВ (для электронов).

ВКБ-приближение приводит к формуле Гамова или чуть более точной формуле Миллера-Гуда, не предполагающей малость туннельного коэффициента [13]:

T = exp(- 2 J p (x pc), T =-2^-(5)

a1 + exp(- 2 J pffidf)

a

Здесь a,b- точки поворота (в области между ними импульс есть величина мнимая и равен нулю в самих точках, что, вообще говоря, противоречит условию (4), обращая правую часть (4) в бесконечность, но это противоречие снимается красивым интегрированием по контуру в комплексной области и применением теоремы о вычетах). Формула Гамова не дает, однако, предэкспоненциального множителя, и применима только для широких и высоких ям.

С учетом этого множителя для тестового барьера (рис.2) формула Гамова переходит [13] в следующее выражение (6), при этом коэффициент отражения полагается равным 1:

T = t2 = ( 2 ^t3 k 2) exp(-2K2a2), R = r2 = 1(6)

Для тестового барьера на рис.2. туннельная задача решается точным образом с помощью записи уравнения Шредингера. После относительно громоздких выкладок получаем содержащее гиперболические тригонометрические функции выражение:

(1 - ch2K2a2 + 4k / къ_ k3

sh2K2a,

2^2

3

V k2k3 У

(1 + —)2 ch2K2a2 +1 -J-^-- I sh2K2a2(1 + —)2 ch2K2a2 +

k

T =-^-2-, R =-^-V 23 \-= 1-T (7)

2 22 2

2 22 2

k3

V k2k3 У

sh K2a2

Одним из примечательных следствий (6) или даже (7) является симметричность туннельного коэффициента по k1 и k3, т.е. проницаемость барьера слева направо и справа налево равны, что позволяет записывать разность логарифмов в (1).

Исследование туннельной проницаемости системы из двух барьеров прямоугольной формы, разделенных ямой, приводит (в предположении малости туннельных коэффициентов для каждого барьера по отдельности) к еще более громоздкому выражению [по Кейну,13], которое дадим ниже для справки (ki,wi-волновое число и ширина каждой ямы ли барьера при энергии падающей частицы E):

~ (k2 + к2 )(k2 + к2 )(k2 + К42 )(k52 + K42) 12

K = eXp( K2 W2 + K4 W4 )[eXp((-p1 + Р2 + Р3 + Р4 + p)) - eXp((p1 + Р2 - Р3 - Р4 + p5 ))] + + exp( к2 W2 - K4 W4 )[- eXp(/(-^1 + Р2 + Р3 - p4 - p)) + eXp((p1 + Р2 - <Рз + Р4 - Р5 ))] + + eXp( - K2 W2 + K4 W4 )[- eXp(/(-p1 - p2 - Р3 + Р4 + Р5)) + eXp((p1 - Р2 + Р3 - Р4 + Р5 ))] + + eXp( - К2W2 - К4 W4 )[eXp((p1 - Р2 - Р3 - Р4 - Р5)) - eXp((-p1 - Р2 + Р3 + Р4 - Р5 ))]

Р = k3 W3, Р2 = arctg "k^, Р3 = arctg ^, Р4 = arctg , Р5 = arctg

k.k3k3k5

Проницаемость двух барьеров, таким образом, в общем случае не равна произведению проницаемостей каждого из них, и это описывает важный феномен резонансного туннелирования. В этом случае, в зависимости от соотношений фаз pi, туннельный коэффициент может повышаться вплоть до 1. При анализе многослойных диэлектриков некоторые авторы [14] для простоты получают туннельный коэффициент, перемножая их для каждого слоя. Природа эффекта резонансного туннелирования связана с многократной интерференцией волн в области между барьерами. Проницаемость системы из нескольких чередующихся плоских ям и барьеров рассчитывают аналитически, используя технику кейновских матричных элементов [13]. Однако для барьеров произвольной формы эта техника неприменима. Таким образом, к недостаткам стандартной модели можно отнести: 1. Использование понятия «эффективной массы», которая становится подгоночным параметром в расчетах. Для диэлектрика, как правило, аморфного (SiO2), и границ раздела фаз, для которой характерны нарушения