одного сорта в кристалле электронная плотность у разных атомов симметрична относительно границы r=a/2. Поэтому условие электронейтральности сохраняется. Если имеется центральная симметрия, то это условие записывается как (4):

a/2

p(r) • 4nr2 dr = -Ze

(4)

Для решения (1) с модифицированными концевыми условиями (2) в случае центральной симметрии сделаем замену (5):

r = X

a

2

ф) = фй + ——z(2r/a) = (Й0 +■

1 Ze

(5)

4ns0 r " 2ns0 aX

Тогда уравнение Томаса-Ферми вместе с краевыми условиями приобретет вид:

X

1/2

d 2Х( X) d2 X

р •х3/2( X)

P

4Z ( mae2 ^

3/2

6п

ns0h2 j

, 0 < X < 1

(6)

{ Х(0) = 1, х(1) = 0 Заметим, что в новых переменных условие сохранения заряда (4) будет записываться так:

{VXx3/2( X )dX

1

р

(XX( X) -х( X ))0 = 1

(7)

(8)

С учетом (6) (7) приобретает после интегрирования по частям более простой вид (8). На решение дифференциального уравнения второго порядка таким образом налагается 3 краевых условия. Однако задача не переопределена, поскольку (8) оказывается линейной комбинацией двух других краевых условий, заданных (6). Неясно только, является ли это любопытное свойство присущим только уравнению Томаса-Ферми, или оно вытекает из общих свойств уравнения Пуассона. Таким образом, с помощью (6) и (1) можно получить искомую плотность электронного заряда p(r).

Численное решение (6) имеет свои особенности, но возникающие при этом трудности преодолимы [14]. Функция x(X) монотонно убывает от 1 до 0, и лишь при P=1^5 (для легких атомов) возникает слабо выраженный локальный минимум вблизи X=1.

0

2. Адаптация 3D уравнения Томаса-Ферми к одномерному случаю Как мы показали в первой части, вопрос размерности задачи принципиально важен. Под одномерной задачей мы понимаем такую, в которой все существенные переменные зависят только от одной координаты, т.е. их значения не изменяются при вариации двух других координат (тем самым их можно исключить из рассмотрения). Вывод уравнения Томаса-Ферми соответствует размерности задачи 3 (в сферических координатах), несмотря на одну независимую переменную r. Туннельная задача по сути одномерна, как и само решаемое уравнение Шредингера для многобарьерного потенциала. Поэтому с целью состыковать результаты решения задач разной размерности совершим определенное преобразование над плотностью p(r). Несмотря на формальное сходство координаты r и координаты x при рассмотрении поперечного сечения атома, непосредственная подстановка p (r), вычисленного по (6), в выражение для потенциала U=-epp(x) ведет к некорректному результату (см. первую часть) из-за сингулярности 3TF-потенциала в нуле. Такое преобразование или процедура адаптации должны сглаживать сингулярность потенциала.

Для простоты предположим кубическую симметрию кристаллической решетки и рассмотрим поперечное сечение кристалла с ориентацией, например, (100). Если тип симметрии иной, то следует принять разными расстояние между двумя параллельными плоскостями одной кристаллографической ориентации и расстояние между атомами в одной такой плоскости, а также решать (1) в эллиптических координатах. Каждый атом моделируется шаром с электронной плотностью заряда p(r)=pe(r)<0 в центре которого точечное ядро. Для каждой плоскости с координатой xe [-a/2;a/2] рассмотрим суммарную зарядовую плотность «размазанных» электронов и дискретно расположенных ядер.

Рассмотрим вначале электронную плотность pe(r). Величина отрицательного заряда q в слое толщиной dx и с координатой x равна:

^2/f4-x2 / ,-\

q = dx I 2лу • p\Jx2 + y2 I- dy(9)

0

Нормировав q площадью a , приходящейся на один атом, получим:

Pe(r) =x2 + у2 )• dy, -y2 < x < /2(10)

0 a

Одномерная пространственная плотность заряда ядер задается (11):

АОО = ° V Ч p{j*2 + У2 d + ^ S(x)(12)

Теперь на неизвестный потенциал и(х)=-еФ(х) вновь составим уравнение Пуассона:

d 2Ф = р1( x)

dxs 00

(13)

Нужное нам частное решение должно удовлетворять условиям (14):

= 0(14)

Ф( x) = Ф(-x), — dx

Оба условия отражают симметрию задачи. В частности, второе условие требуется для непрерывности периодического продолжения Ф(х)=Ф(х+ш), n- натуральное число. Для однозначного определения Ф(х) необходимо наложение условия (15), в котором вновь появляется старая постоянная интегрирования ф0:

max Ф^) = Ф0 ее ф0(15)

x

Для удобства будем считать p(r) взятой по модулю и перепишем (4) в безразмерном виде (r=X*a/2):

)p(X) X2 dX = 2Ze/m з(16)

0

Преобразуем также (12) с помощью замен (17), получая сразу (18),(19):

x = X• -1 < X < 1, У = Y• a/2, 0 < Y < 1, R = VX2 + Y2 (17)

P1(X) = Ч -П ]p(R)RdR(18)

d2 Ф Zena2 1

5(X) + 8- \p(R)RdR(19)

dX 2a—08—0

Сразу отметим, что потенциал Ф и плотность заряда p есть четные функции, а напряженность поля -dФ/dX есть нечетная функция от координаты X. Поэтому достаточно проводить рассмотрение для X>0. Из (18) и (13) интегрированием (19), сводя двукратный интеграл к однократному (по частям), получим (20):

x = a/2

Pn(x) = Z/2ba2, -b < x < b(11)

Атомное ядро мы представили в виде куба с ребром 2b (a»b~10"15м). В (11) можно перейти к пределу b—0 и одномерной функции Дирака 5(x), и тогда получим суммарную плотность: