Ze тиа2

+

dX 4as0 8s(

X p( R) RdR + p(R) R2 dR

J

Константа интегрирования равна нулю, поскольку задаваемое (20) поле удовлетворяет граничному условию (14). Снова проинтегрируем (20), пользуясь тем же методом взятия двукратного интеграла по частям:

Ф( X )

-^-X + ^•(XL- fp(R)RdR 4as0 8s0 2 J

X1

X 2

X- (-p( X1) X1 )dX 1

X1

+ X1 fp( X1) X12 dX 1

0

X X1) X12 dX 1)

4as0

X +

(21)

+

та

2X

X1

• (Xf p(R)R2dR - - fp(R)R3dR + - X2 f p(R)RdR)

2

8s00~ 0X

Перейдя в (21) от пределов интегрирования [0,X] к пределам [X,1] и учтя (16),

получим (22):

Ф( X)

та

2 \

X1p(X1)(X - X1)2 dX1 -\pX)X\ dX1

(22)

16s0 v x

Добавляя постоянную интегрирования и переходя к естественным переменным, из (22) легко получить (23):

a/2

O(x) = Ф 0rp(r) • (r - \x\)2 dr

S0a \x\

(23)

Беря разность Ф^-Ф^^) и учтя (4), получим оценку сверху на глубину ямы AU по отношению к характерной для задачи энергии электростатического взаимодействия

Ech:

.т, na2 2Ze ж 1 Ze AU < e----1 = -Ech Ech =---

(24)

16s0 na3 4"" 4ns0 a /2

Для более явной связи с решением уравнения Томаса-Ферми удобно переписать (23) с учетом (1),(5) в виде безразмерном виде (25):

Ф( x) = Ф 0 + KI ( )

2 x4 Ze

a 4ns0 a

K

С mae2 ^

3/2

Vns0h 2 J

2nP, I (X) =

1 хъ,2Ш

(£-1X)2dt; (25)

Таким образом, зная решение x(r) 3D TF-уравнения, через (23) или (25) можно найти адаптированный 3D-потенциал для одномерного случая (^Ф(х)).

X

0

X

0

X

0

3

d

(р(+0) = 1 Ze A = 2eV2me( )

2s0 a2s0hna2

Данное уравнение с точностью до коэффициента A совпадает с 1D TF-уравнением для бесконечного атома [15], в котором этот коэффициент выражается через фундаментальные константы и гамма-функцию. Поэтому его значение в (27) является приближенным, что связано с приведением размерности при получении (27). В той точке, где наблюдается минимум потенциала ф0, его производная обращается в нуль. Поэтому после замены (28) получим краевую задачу (29):

= a/2 £ ((x) = (0 + Bx(£), B =x > 0, ((x) = ((-x)(28)

x =

4s0a

2am

(29)

d2z(£) r- e

[/(+0) = -1, 3£: X(£) = 0 Целесообразно считать точку минимума потенциала совпадающей с границей атома, т. е. что внутренних экстремумов нет.

Попробуем аналитически решить (29). Проинтегрируем домноженное на производную неизвестной функции (29) и получим (С- постоянная интегрирования, которую удобно связать (31) со значением функции в единице):

3. Исследование одномерного уравнения Томаса-Ферми Ранее уже исследовалось D-мерное TF-уравнение [15], но для бесконечного в пространстве атома. В самом деле, с формальной точки зрения значительно проще подставлять в Ш-уравнение Шредингера не преобразованный по (23) трехмерный потенциал Ф(х), а его одномерный аналог. Тем самым мы избавились бы от нескольких интегрирований и решения уравнения Пуассона. Действуя аналогично [12], получим: для объема фазового пространства- 2pdx/h клеток, максимального импульса электрона- hn/4 (n- концентрация электронов [м-1] , h- постоянная Планка), затем для связи n и потенциала ф:

n = — ^2me(^-^0>)(26)

лп

Уравнение Томаса-Ферми примет вид (с целью приведения размерности уравнения Пуассона мы разделили на a !):

d

z(<?)

Или, если z=1/u3:J/3 = f .(33)

Интеграл (32) можно свести к классической неполной бета-функции Bz(5/6,1/2), если его проинтегрировать по частям:

J = 6z-1/б(1 - z)1/2 -2f z-1/б(1 - z)-1/2dz(34)

z

Отметим, что при ^=0 J конечен, а значит z^0, и при ненулевом p (значение p=0 приводит к упрощению интегрирования, появлению в качестве решения степенной функции 4-го порядка, но подстановка данного решения приводит к противоречию с условием наличия экстремума на отрезке) %(0) конечно. Для практических целей (34) не слишком пригодно, поскольку бета-функция табулирована обычно по своим двум аргументам. Поэтому нужно либо непосредственно вычислять (33), либо выразить его через другие специальные функции. Процедура интегрирования утомительна, но с помощью замены (35) можно свести к задаче вычисления табулированных эллиптических интегралов (36). Или, через переменную u:

3 J (u) == (I/ + V3) F (р, sin - 2^3Е {ср, sin П) + 2фЕ1(35)

cosp = ^3i—(u——, ре [0,n](36)

V3 + (u -1)

Здесь F(*),E(*)- соответственно эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода в форме Лежандра, в которых верхний предел интегрирования ф связан со старой переменной u дробно-линейной заменой (36).

Осталось только найти неизвестную p. Введем новую переменную q, и запишем в переменных (p,q) краевые условия:

ХГ= 2Х + C(30)

С = - ах3/2(1), X) = Р(31)

2/3

Проинтегрируем (31) с учетом замены x=pz- (z(£) есть возрастающая функция):

J = } z-7/6(1 - z)-1/2 dz = p 17^V3a(1 -£)(32)