Распознавание патологической активности в записях магнитных энцефалограмм при болезни Паркинсона

Дергузов А.В. (arkadid@list.ru), Махортых С.А. Институт математических проблем биологии РАН

Введение

Магнитная энцефалография (МЭГ) - быстро развивающаяся область экспериментального изучения высшей нервной деятельности человека, функциональных областей мозга и диагностики различных патологий. Причиной этого является возможность неинвазивного получения данных о процессах, происходящих как в коре головного мозга, так и в глубоких его отделах.

Сложности использования предлагаемых здесь подходов до последнего времени были связаны с чрезвычайной слабостью как спонтанных, так и вызванных магнитных полей, возбуждаемых токовыми источниками в мозге. Соответственно повышенные требования предъявляются к используемой измерительной аппаратуре.

Несмотря на возникающие технические трудности и высокую стоимость необходимого экспериментального оборудования, использование данного подхода как дополнения или альтернативы электрической энцефалографии оправдано следующим обстоятельством. Магнитное поле, в сравнении с электрическим, испытывает значительно меньшие искажения на внутричерепных неоднородностях и покрывающих тканях, что существенно повышает точность локализации источников и снижает требования к знанию структуры внутричерепной среды.

Используемые в настоящей работе исходные экспериментальные данные получены с помощью 148-канального измерительного стенда Magnes 2500 WH в Медицинской школе Нью-Йоркского университета. Датчики представляют собой высокочувствительные измерители магнитного поля на основе квантовых интерферометров, погруженные в дьюар с жидким гелием. Вся установка и пациент размещаются в магнитоизолированном помещении.

Основное внимание в настоящей статье уделяется задачам определения значений магнитного поля на лицевой области черепной коробки и классификации и распознавания картин распределения магнитного поля по поверхности головы пациента для задач локализации источников биомагнитной активности мозга. Актуальность данной проблемы обусловлена сложным характером изменчивости сигнала МЭГ во время проведения измерений (порядка 10 -20 минут), в течении которого участки с патологической активностью чередуются с нормальной изменчивостью (смотри рисунок a). При этом участки с различным типом поведения могут отличаться средней амплитудой изменений частот: в этом случае участки с патологией и нормой легко выделить визуально. В более сложных ситуациях визуальная оценка не дает надежной идентификации участков с различным типом активности. В этом случае надежным критерием преобладающего типа активности является пространственная картина поля, жестко связанная с числом, положением и ориентацией токовых источников магнитного поля.

Предполагаемые подходы тестировались на исходных данных, получаемых у контрольной группы здоровых испытуемых и пациентов, страдающих болезнью Паркинсона (ее разновидностью синдромом tinnitus). Измеряемый сигнал представляет собой пространственно-временную структуру: 148-мерный вектор измерений в 148 точках на поверхности головы, развернутый во временной ряд с частотой опроса датчиков 500 Гц.

Вся работа по анализу получаемых данных может быть разбита на следующие этапы:

1.Выделение полезного сигнала, связанного с конкретным видом деятельности мозга (например, сигнала, вызванного подачей периодического стимула - слухового, визуального, осязательного и т.д.; сигнала, связанного с генерацией тремора или слуховых галлюцинаций при паркинсонизме).

2.Выбор моментов времени для решения обратной задачи локализации токовых источников по пространственной картине поля на поверхности головы в эти моменты времени.

3.Решение обратной задачи локализации источников как при наличии патологии, так и в случае нормальной активности.

4.Учет физиологических ограничений, получаемых с помощью ЯМР-томографии.

Прямая задача МЭГ

Плотность тока диполя J вызвана электрическими токами, индуцируемыми биологической активностью проводящих тканей головного мозга [4]. Предполагая J в пределах проводящей

области G мозга с проводимостью о и то, что магнитная проницаемость постоянна, ^ = ^0, квазистатическая аппроксимация уравнений Максвелла, для определения электрического поля Е и магнитного поля B, принимает вид:

E = -Уф(1)

Vx B = -//0J V-B = 0(2)

J = Jp +oE,(3)

где ф - электрический потенциал, а J - общая плотность тока. Магнитное поле вычисляется по закону Био - Савара - Лапласа:

B(r) = j(r) x (Г - Г3 dv,(4)

4ж r - r 3

где r - координаты диполя, r - интересуемая точка. Комбинируя уравнения (1), (3) и (4), получаем:

B (r) = ^°-[ Г J (r) x (r r f)3 dv -Ya, Гvфx (r r f)3 dv]

47T JI3^ JJIt- -t- I3

G,

in1 ГJ (r) x \r~7Fd v-Y°J ГУфХ yr-TFdv ],(5)

G

где Gj - подобласти с различными проводимостями.

Если проводник представляет по форме шар и источником является токовый диполь с

плотностью тока J(r) = QS(r - r0)

где Q и r0 - магнитный момент и радиус - вектор локального источника, то существует точное

аналитическое выражение для вычисления магнитного поля. Согласно [4], магнитное поле вне однородной сферы, окружающей диполь может быть вычислено по формуле:

B(r) = F 2(Fq x Г0 - Q x Г0 - rVF),(6)

где

F = a(ra + r2 - r0 - r) a = r - r0 a = a r = Irl

VF = (r la2 + a a - r + 2a + 2r )r -(a + 2r + a a - r )ro

Из выражения (6) следует, что если источник ориентирован радиально, не создается внешнего магнитного поля отличного от нуля. Это обстоятельство свидетельствует о математической некорректности обратной задачи, т.е. характеристики источника определяются с точностью до произвольной радиальной составляющей момента токового диполя. Следует также отметить, что в уравнение (7) не входит прямо проводимость а - на однородной сфере, вклад магнитного поля от объемных токов не зависит от проводимости.

Метод решения обратной задачи

Для локализации источников спонтанной активности по измеренным данным, на основании выражений (4), (5), (6) решается обратная задача. По полученным значениям магнитного поля, на заданном наборе точек измерений, определяются положения и ориентации источников. В общем случае, для выбранной модели активности и геометрии головы, обратная задача может быть сведена к проблеме нелинейной оптимизации вычисления положений и

моментов набора диполей, для которых достигается наилучшее соответствие измеренным данным МЭГ по среднеквадратичному отклонению. Сложность решения сформулированной обратной задачи связана, прежде всего, с ее некорректностью. Как отмечено выше, имеется бесконечное число решений, которые будут воспроизводить экспериментальные данные. В вычислительном смысле трудности связаны со сложной структурой задачи нелинейной оптимизации: целевая функция имеет большое число локальных экстремумов, особенно, когда число дипольных источников велико.

Технические сложности связаны также с чрезвычайной слабостью как спонтанных, так и вызванных магнитных полей, возбуждаемых токовыми источниками в мозге и высоким уровнем помех, присутствующих в записях.

В качестве признакового пространства, при решении задач классификации типа магнитной активности в записи и распознавания участков с патологией предлагается использовать спектральные характеристики общего магнитного поля, остающиеся инвариантными при совершении, связанных с поворотами на сфере. Естественным базисом для описания пространственного распределения поля при этом является набор сферических гармоник. Выбор информативных признаков осуществляется на этапе обучения алгоритма и основан на оценке изменчивости признаков коэффициентов Фурье в классе изучаемых объектов. Верхняя граница размерности признакового пространства задается длиной ряда Фурье N. Наличие простой аналитической связи между коэффициентами разложения при применении к аргументу функции группы преобразований SO(2) [8] позволяет построить быструю процедуру перебора функций в заданном класс.

Инвариантные соотношения

Далее приводится вывод аналитических зависимостей, позволяющих реализовать полное распознавание записей МЭГ. В результате векторизации записи МЭГ получено их представление в сферической системе координат в виде ряда по ортонормированным сферическим функциям

Уы (в,Ф).

N l l = 0 т = -l

Коэффициенты разложения lm вычисляются по формуле:

2жж

am = \\ f (в, Ф) У ы (в, Ф) sin МЩ,(8)

0 0

где cijm - коэффициенты разложения функций f (в, ф)

При повороте записей МЭГ в сферической системе координат, сферические гармоники в новой системе координат выражаются через старые следующим образом:

Ym„ ®,в) =t DLYkn (<Р,в),(9)

n=— k

где <з,в - новые, <р,в - старые координаты, Укп(ср,в) и Укп(ср,в) - сферические гармоники в новой и старой системе координат.

Таким образом, линейные комбинации функции Ykn(ср,в) при фиксированном 1 образуют

21 +1 - мерное пространство функций, инвариантное относительно вращений. Dmn(а, в,у) -обобщенные сферические функции или D-функции Вигнера и выражаются через матричные элементы неприводимых унитарных представлений Tl (u) группы унитарных унимодулярных матриц второго порядка SU(2) следующим образом:

DL (а, в, У) = e—(та+nP) PL (cosy),(10)

здесь матричные элементы Tl (u) представлены в записи через углы поворота Эйлера а, в, У [7].