с четной функцией G , так же, как и S , нормированной на 1. Тогда

ф = n7±i3, 7 = 4=. в = 2 (з + Vai^^iv(7)

Подставляя (7) в (4), а затем в (3), окончательно получаем

f( ) = 1_2п7пй/Ъ_

1 (e) п (e - 2(nd/3)2 + (2n7nd/3)2(8)

Впервые это выражение для статистики поля диполей несколько другим путем, без ссылок на Хольцмарка и без всякой привязки к проблеме "действующего" поля было найдено в [7]. Как это часто бывает в хольцмарковских формулах (см. [3, 4, 5]), функция (8), имеющая в данном случае лоренцев профиль, обладает степенными "хвостами", что связано с доминированием при \e\ — оо вклада ближайшего соседа. Это приводит к расходимости ее моментов, начиная с J \e\f (e) de , поэтому вычисление интересующей нас величины {e) требует, строго говоря, некоторой процедуры регуляризации интеграла. Наиболее естественно воспользоваться симметрией (8) относительно максимума — среднее значение добавки к E в "действующем" электрическом поле равно

Е- — Е = ^ = ± 3+ V3^) Р . 0,16f р

что довольно заметно отличается от общепринятого выражения (1).

Формула (8) элементарно обобщается на случай (см. ниже) двух возможных ориента-ций диполей — в положительном и отрицательном направлении оси z с концентрациями п+ и п- соответственно (п+ + п- = п): при ( появляется множитель (п+ — n-)/n.

2.Энергетическое распределение двумерных диполей

Из формул предыдущего параграфа нетрудно вывести общеизвестный факт, что в трехмерном пространстве одинаковая ориентация диполей энергетически выгодна. Предоставленные сами себе в отсутствие других взаимодействий они должны выстраиваться параллельно друг другу, демонстрируя спонтанную поляризацию (намагниченность). Совершенно иначе обстоит дело с двумерными системами в виде тонких пленок, поскольку "боковое" взаимодействие одинаково направленных диполей дает положительный вклад в энергию.

Представим себе плоскость z = 0 , в которой случайным образом разбросаны спиновые магнитные моменты ±ц с концентрациями п± (п+ + п- = п = const, в этом параграфе п измеряется в -2), обладающие двумя возможными ориентациями относительно перпендикуляра к плоскости. Очевидно, что в отсутствие внешнего поля в равновесии такая среда демонстрирует отсутствие спонтанной намагниченности п+ = п- . Однако, при наложении Hez равновесие смещается, так как проигрыш, связанный с увеличением п+ ,

компенсируется членом (п+ — п-)^И. В результате у плоскости (пленки) возникает макроскопический момент с поверхностной плотностью M , являющийся функцией отношения H к размагничивающему фактору, в отличие от привычного для (2) T/ц равного характерному значению поля соседа /т3/2 . Попробуем найти эту функцию.

Плотность распределения энергии "пробного" диполя, направленного вверх по z , естественно представляет собой (ср. (3))

Проделывая аналогичные (4) операции (усреднение идет уже по FJ j d2Yj/S) ее можно переписать в виде

оо

f (б) = — Re exp гиб--(1 + гу 3 х)

п J [2

1 Re / exp гиб ——^i~>-^ ~1 (i + ^ 3 \ du n J2

0

= — f cos(u6/v — u2/3xV3) exp(—u2/3) du,(10)

J

0

где Г — гамма-функция Эйлера, v = /12[кГ(1 /3)п/2]3/2 , а х = (п+ — п-)/п. Явное выражение для f (б) можно выписать только при х = 0 , да и то через гипергеометрическую функцию.

В отличие от f (e) f (б) не представляет собой сдвинутую симметричную функцию (это нетрудно увидеть уже из того обстоятельства, что при х =1 f (б) = 0 при б < 0), что не позволяет аналогичным образом регуляризовать интеграл J f (б)бdб = {б) , необходимый для исследуемой задачи. Его расходимость снимается при "обрезании" "хвостов" функции распределения, основной вклад в которые, как уже упоминалось выше, дают ближайшие соседи. Например, можно считать, что отдельные диполи не могут сближаться на расстояние, меньшее a. Если a ^ п-1/2 , то исходное ключевое предположение относительно нескоррелированности расположения диполей нарушается мало, и искажения профиля f (б) действительно возникают лишь на далеких "хвостах". Физическим примером такой ситуации являются, например, внедренное в матрицу из бесспиновых атомов небольшое количество молекул (свободных радикалов) с ц = 0 (в этом случае a — это размер этих молекул).

В принципе, "хвосты" f (б) могут быть найдены из асимптотического разложения (10), но гораздо проще это сделать из следующего соображения [4]. В области б ^> /12п3/2 все определяется ближайшим соседом с моментом, направленным вверх, поэтому

f (б) dt = 2nn+rdr, при соответствии б(г) = /12/т3

(аналогично для б ^ —/i2n3/2 ), откуда

аА/3

f (б)\^±оо ~ п± б5/з ■

"Обрезание" происходит при \б\ ~ —2/а3 . Таким образом, во внешнем магнитном поле данная система обладает энергией (на единицу площади)

/2 ef (e) de - —H^j ~ (n+ - n_)2 —--(n+ - n_)—H.

Считая, что равновесное состояние характеризуется минимумом энергии, получаем, что намагниченность M в данной модели есть

M = (n+ - n_)—ez ~ aH.(12)

Самым заметным отличием "альтернативной" формулы (1 ) от ее классического ланже-веновского аналога ( ) является отсутствие зависимости M от полного числа магнитных частиц в системе. Естественно, это верно лишь при Н < —n/a — в противном случае минимум E не достигается, и M = n—H/H.

Заключение

Итак, мы продемонстрировали, что использование "хольцмарковского" подхода к статистике дипольных полей даже в упрощенных моделях позволяет по-новому взглянуть на такие классические результаты как формулы Лоренца и Ланжевена и увидеть их ограничения. Как представляется, разобранные эффекты представляют интерес уже на уровне общей физики.

Работа выполнена при поддержке гранта НШ-2292.2003.2, а также системы инициативных проектов РНЦ "Курчатовский институт".

Список литературы

1.Сивухин Д.В. Электричество. М.: Физматлит, 2002.

2.Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.

3.Holtsmark H. Ann. d. Phys. 1919. V.58. P.577.

4.Коган В.И., Лисица В.С., Шолин Г.В. В сб. Вопросы теории плазмы/ под ред. Кадомцева Б.Б. Вып.13. М.: Энергоатомиздат, 1984. С.205.

5.Чукбар К.В. Физика плазмы. 1999. Т.25. С.83.

6.Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1977.

7.Wesenberg J.H., M0lmer K. Phys. Rev. Lett. 2004. V.93. 143903.